Numero perfetto totiente

In teoria dei numeri, si dice numero perfetto totiente un numero naturale n uguale alla somma dei suoi totienti iterati, da n fino ad 1. Ad esempio, considerando il numero 243, abbiamo: φ(243) = 162; φ(162) = 54; φ(54) = 18; φ(18) = 6; φ(6) = 2, φ(2) = 1. Dato che 162+54+18+6+2+1=243, 243 è un numero perfetto totiente.
I primi numeri perfetti totienti sono: 3, 9, 15, 27, 39, 81, 111, 183, 243, 255, 327, 363, 471, 729, 2187, 2199, 3063, 4359, 4375, 5571^[1].

Definizione formale

Dato un numero ${\displaystyle n\subset \mathbb {N} }$, ${\displaystyle n}$ è perfetto totiente se e solo se

${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{c+1}\varphi ^{i}(n),}$

dove

${\displaystyle \varphi ^{i}(n)=\left\{{\begin{matrix}\varphi (n)&{\mbox{ se i=1}}\\\varphi (\varphi ^{i-1}(n))&{\mbox{ se i ≠ 1}}\end{matrix}}\right.}$ (funzione totiente iterata)

e

${\displaystyle \displaystyle \varphi ^{c}(n)=2}$.

Proprietà matematiche

Molti numeri perfetti totienti sono multipli di 3. Il più piccolo perfetto totiente a non essere divisibile per 3 è 4375. Tutte le potenze di 3 sono numeri perfetti totienti, come si può verificare per induzione osservando che

${\displaystyle \displaystyle \varphi (3^{k})=\varphi (2\cdot 3^{k})=2\cdot 3^{k-1}.}$

Un'altra famiglia di numeri perfetti totienti è quella data dalla seguente regola: se p=4·3^m+1 è un numero primo, allora 3p è un numero perfetto totiente.^[2] I primi valori di m per i quali 4·3^m+1 è primo sono: 0, 1, 2, 3, 6, 14, 15, 39, 201, 249, 1005, 1254, 1635, 3306^[3].

Più generalmente, se p è un numero primo maggiore di 3 e 3p è un numero perfetto totiente, allora p è esprimibile nella forma 4n+1, ovvero p ≡ 1 (modulo 4)^[4]; in più, n è anch'esso un numero perfetto totiente. Quindi, con n perfetto totiente e 4n+1 primo, anche 3·(4n+1)=12n+3 è perfetto totiente. Questo concatena i numeri di questo tipo in qualcosa di simile a una catena di Cunningham generalizzata^[5].
Se 9p (=3²p) è un numero perfetto totiente, allora p è sempre un numero primo^[6]. Non si sa se ci siano numeri perfetti totienti nella forma 3^mp, dove p è un numero primo maggiore di 3 e m > 3^[6].

Note

1. (EN) Sequenza A082897, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
2. Venkataraman, T., Perfect totient number, in The Mathematics Student, vol. 43, 1975, p. 178.
3. (EN) Sequenza A005537, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
4. Mohan A. L., Suryanarayana D., Perfect totient numbers, Number theory, Mysore, Lecture Notes in Mathematics, vol. 938, Springer-Verlag, 1982, pp. 101–105.
5. (EN) John Smith, Example of perfect totient number Archiviato il 30 aprile 2008 in Internet Archive. su PlanetMath.
6. Iannucci, Douglas E., Deng, Moujie, Cohen, Graeme L., On perfect totient numbers (PDF), in Journal of Integer Sequences, vol. 6, n. 4, 2003. URL consultato il 18 agosto 2012 (archiviato dall'url originale il 12 agosto 2017).

Collegamenti esterni

• (EN) perfect totient number, in PlanetMath.
• Luca Florian, On the distribution of perfect totients (PDF), in Journal of Integer Sequences, vol. 9, n. 4, 2006, pp. 06.4.4. URL consultato il 18 agosto 2012 (archiviato dall'url originale l'11 agosto 2017).
• (ES) Pérez-Cacho Villaverde, Laureano, Sobre la suma de indicadores de ordenes sucesivos, in Revista Matematica Hispano-Americana, vol. 5, n. 3, 1939, pp. 45–50.
• (EN) Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, New York, Springer-Verlag, 2004, §B41, ISBN 0-387-20860-7.

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