Numero primo di Wolstenholme

In matematica un numero primo ${\displaystyle p}$ è detto di Primo di Wolstenholme se e solo se

${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{4}}}}$

Ovvero

${\displaystyle {\binom {2p}{p}}\equiv 2{\pmod {p^{4}}}}$

Gli unici due numeri primi di Wolstenholme attualmente conosciuti sono 16843 e 2124679 (sequenza A088164 dell'OEIS). È stato verificato che non ne esistano altri minori di ${\displaystyle 10^{9}}$ ^[1]

Dimostrazione

Il Coefficiente binomiale è definito come:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!(k!)}}}$

Si può quindi espandere il binomio, riscrivendo l'identità come:

${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}={\frac {(2p-1)!}{[(2p-1)-(p-1)]!(p-1)!}}\equiv 1}$

Semplificando si ottiene:

${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\,={\frac {2p}{2p}}\cdot {\frac {(2p-1)!}{p!(p-1)!}}\,={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {(2p)!}{(p!)^{2}}}\,={\frac {1}{2}}{\binom {2p}{p}}\,\equiv 1}$

Raggruppando, la seguente identità è dimostrata:

${\displaystyle {\binom {2p}{p}}\,\equiv 2\,}$

Note

1. McIntosh, email a Paul Zimmermann. 9 Mar 2004

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Numero primo di Wolstenholme, su MathWorld, Wolfram Research.

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