Numero rifattorizzabile

In teoria dei numeri, un numero rifattorizzabile o numero tau è un intero divisibile per il numero dei suoi divisori, ovvero un numero ${\displaystyle n}$ tale che ${\displaystyle \tau (n)|n}$ (dove ${\displaystyle \tau }$ è la funzione dei divisori). I primi numeri rifattorizzabili sono: 1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88 e 96.^[1] Ad esempio, il numero 60 ha 12 divisori ed è divisibile per 12.

Proprietà matematiche

• Esistono infiniti numeri rifattorizzabili, sia pari sia dispari.
• Se un numero ${\displaystyle n}$ dispari è rifattorizzabile, lo è anche ${\displaystyle 2n}$.
• I numeri rifattorizzabili hanno una densità asintotica uguale a zero^[2].
• Tre numeri interi consecutivi non possono essere tutti rifattorizzabili^[3].
• Nessun numero rifattorizzabile può essere anche un numero perfetto.
• L'equazione MCD${\displaystyle (n,x)=\tau (n)}$ è determinata solo se ${\displaystyle n}$ è rifattorizzabile.

Ci sono alcuni problemi irrisolti riguardanti i numeri rifattorizzabili. La congettura di Colton afferma che per ogni numero intero ${\displaystyle n}$ il numero di numeri rifattorizzabili minori o uguali a ${\displaystyle n}$ è almeno la metà della quantità di numeri primi minori o uguali a ${\displaystyle n}$. Zelinsky ha inoltre congetturato che se esiste un numero rifattorizzabile ${\displaystyle n_{0}\equiv a\mod m}$, allora deve necessariamente esistere un ${\displaystyle n>n_{0}}$ tale ${\displaystyle n}$ è rifattorizzabile e ${\displaystyle n\equiv a\mod m}$.

Storia

I numeri rifattorizzabili furono definiti per la prima volta dai matematici Curtis Cooper e Robert E. Kennedy^[2] che dimostrarono che questo insieme ha densità asintotica nulla. Successivamente furono riscoperti dall'informatico Simon Colton, usando un software di sua invenzione, che inventa ed esamina definizioni relative a varie aree della matematica, come la teoria dei numeri e la teoria dei grafi^[4]. È stata una delle prime volte in cui una nuova idea matematica veniva scoperta autonomamente da un computer. Fu Colton a chiamare questi numeri "rifattorizzabili". Colton ha dimostrato che esistono infiniti numeri rifattorizzabili, oltre a diversi teoremi relativi alla loro distribuzione.

Note

1. (EN) Sequenza A033950, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
2. Cooper, C.N. and Kennedy, R. E. "Tau Numbers, Natural Density, and Hardy and Wright's Theorem 437." Internat. J. Math. Math. Sci. 13, 383-386, 1990
3. J. Zelinsky, "Tau Numbers: A Partial Proof of a Conjecture and Other Results," Journal of Integer Sequences, Vol. 5 (2002), Articolo 02.2.8
4. S. Colton, "Refactorable Numbers - A Machine Invention," Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), Article 99.1.2

Voci correlate

• Funzione tau sui positivi
• Numero perfetto

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Numero rifattorizzabile, su MathWorld, Wolfram Research.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica