Operatore unitario

In geometria, un operatore unitario, detto anche trasformazione unitaria, è un isomorfismo tra due spazi di Hilbert che conserva il prodotto scalare, e si tratta pertanto della generalizzazione del concetto di isometria al campo complesso.

Gli operatori unitari su spazi di Hilbert finito-dimensionali costituiscono l'insieme delle matrici unitarie. Nel caso possiedano tutti gli elementi reali, le matrici unitarie sono dette matrici ortogonali e sono corrispondenti agli operatori unitari su $\mathbb {R} ^{n}$ .

Definizione

Si definisce operatore unitario un isomorfismo $U:{\mathcal {H}}_{1}\rightarrow {\mathcal {H}}_{2}$ tra due spazi di Hilbert che conserva il prodotto scalare:^[1]

(\phi ,\psi )=(U\phi ,U\psi )\qquad \forall \phi ,\psi \in {\mathcal {H}}_{1}

In modo equivalente, un operatore unitario è un operatore tale che:

U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=1

dove si indica con $U^{\dagger }$ l'aggiunto dell'operatore $U$ .

In particolare, la norma di un operatore unitario è unitaria:

\|U\|=1

In spazi vettoriali a dimensione finita la suriettività è garantita dal fatto che un operatore unitario è un isomorfismo, e da essa discende l'invertibilità.

Spettro

Lo spettro di un operatore unitario $U$ giace sulla circonferenza unitaria, ovvero per ogni numero $\lambda \in \mathbb {C}$ nello spettro si ha $|\lambda |=1$ . Questo fatto può essere visto come una conseguenza del teorema spettrale per operatori normali, che stabilisce che $U$ è unitariamente equivalente alla moltiplicazione per una funzione $f\in L^{2}(\mu )$ misurabile rispetto alla sigma-algebra di uno spazio di misura finito $(X,\mu )$ con misura di Borel $\mu$ . Allora, dal momento che $UU^{\dagger }=I$ implica $|f(x)|^{2}=1$ quasi ovunque rispetto a $\mu$ , lo spettro essenziale di $f$ , e dunque lo spettro di $U$ , è contenuto nella circonferenza unitaria.

Linearità

La linearità di un operatore unitario può essere derivata a partire dalla linearità del prodotto interno definito positivo:

\langle \lambda \cdot Ux-U(\lambda \cdot x),\lambda \cdot Ux-U(\lambda \cdot x)\rangle

=\|\lambda \cdot Ux\|^{2}+\|U(\lambda \cdot x)\|^{2}-\langle U(\lambda \cdot x),\lambda \cdot Ux\rangle -\langle \lambda \cdot Ux,U(\lambda \cdot x)\rangle

=|\lambda |^{2}\cdot \|Ux\|^{2}+\|U(\lambda \cdot x)\|^{2}-{\overline {\lambda }}\cdot \langle U(\lambda \cdot x),Ux\rangle -\lambda \cdot \langle Ux,U(\lambda \cdot x)\rangle

=|\lambda |^{2}\cdot \|x\|^{2}+\|\lambda \cdot x\|^{2}-{\overline {\lambda }}\cdot \langle \lambda \cdot x,x\rangle -\lambda \cdot \langle x,\lambda \cdot x\rangle

=0

In modo analogo si ottiene:

\langle U(x+y)-(Ux+Uy),U(x+y)-(Ux+Uy)\rangle =0

Note

^ Reed, Simon, Pag. 39.

Bibliografia

Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
(EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
(EN) Serge Lang, Differential manifolds, Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont., Addison-Wesley Publishing Co., Inc., 1972.
(EN) Paul Halmos, A Hilbert space problem book, Springer, 1982.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Operatore unitario, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) V.I. Sobolev, Unitary operator, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
(EN) V.I. Sobolev, Unitarily-equivalent operators, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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[1] Reed, Simon, Pag. 39.

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