Presentazione di un gruppo

In matematica, e in particolare in algebra astratta, una presentazione di un gruppo è una particolare definizione ottenuta mediante l'elenco dei generatori del gruppo, ovvero degli elementi il cui prodotto combinato dà origine a tutti gli elementi del gruppo, e delle relazioni tra i vari elementi. Indicando l'insieme dei generatori con ${\displaystyle S}$ e l'insieme delle relazioni con ${\displaystyle R}$, la presentazione di un gruppo si indica con

${\displaystyle \langle S\mid R\rangle .}$

Definizione

La definizione formale di una presentazione necessita di alcune definizioni preliminari, che vengono date nel seguito.

Parole

Consideriamo un insieme ${\displaystyle I}$; per ogni ${\displaystyle x\in I}$ definiamo un ulteriore elemento ${\displaystyle x^{-1}}$^[1]; una parola è qualunque prodotto formale finito

${\displaystyle y_{1}y_{2}\ldots y_{n},}$

dove ${\displaystyle y=x}$ oppure ${\displaystyle y=x^{-1}}$, con ${\displaystyle x\in I}$. Definiamo anche la parola vuota come il prodotto formato da nessun fattore.

Una parola è detta ridotta se non esistono due elementi ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle x^{-1}}$ contigui. È sempre possibile ottenere una parola ridotta eliminando tali elementi contigui (ovvero sostituendoli con la parola vuota); due parole sono considerate equivalenti se generano la stessa parola ridotta. Possiamo inoltre utilizzare le seguenti scritture abbreviate:

${\displaystyle {\begin{matrix}x^{n}&=&\underbrace {xx\ldots x} \\&&n{\mbox{ volte}}\\x^{-n}&=&\underbrace {x^{-1}x^{-1}\ldots x^{-1}} .\\&&n{\mbox{ volte}}\end{matrix}}}$

Gruppo libero

Definiamo come prodotto tra due parole ridotte la parola che si ottiene concatenando le due parole di partenza, e riducendo se necessario il risultato finale. L'insieme delle parole ridotte dotato di questa operazione è un gruppo chiamato gruppo libero sull'insieme ${\displaystyle I}$ e indicato con ${\displaystyle \langle I\rangle }$. L'elemento neutro è la parola vuota, mentre l'inverso di una parola è ottenuto scrivendo i fattori in ordine inverso e scambiando il fattore ${\displaystyle x}$ con il fattore ${\displaystyle x^{-1}}$ e viceversa.

Presentazione di un gruppo

Consideriamo un insieme ${\displaystyle S}$, il gruppo libero ${\displaystyle \langle S\rangle }$ e un sottoinsieme ${\displaystyle R\subseteq \langle S\rangle }$ formato da parole di ${\displaystyle S}$. Il gruppo di presentazione ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ è definito come il più grande gruppo quoziente di ${\displaystyle \langle S\rangle }$ tale che ogni elemento di ${\displaystyle R}$ è identificato con l'identità.

Detto ${\displaystyle N}$ il più piccolo sottogruppo normale contenente ${\displaystyle R}$ (chiusura normale di ${\displaystyle R}$), si dimostra che:

${\displaystyle \langle S\mid R\rangle ={\frac {\langle S\rangle }{N}}.}$

Gli elementi di ${\displaystyle S}$ sono detti generatori di ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$, gli elementi di ${\displaystyle R}$ sono detti relatori; questi elementi esprimono in effetti delle relazioni di uguaglianza tra gli elementi di ${\displaystyle S}$, che nella loro forma più semplice possono essere espressi come ${\displaystyle x=1}$, dove ${\displaystyle x\in R}$ e ${\displaystyle 1}$ è l'identità di ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$.

Presentazioni finite

Una presentazione ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ è detta finitamente generata se l'insieme ${\displaystyle S}$ dei generatori è finito, finitamente relazionata se è finito l'insieme ${\displaystyle R}$ delle relazioni, finita se sono finiti sia ${\displaystyle S}$ che ${\displaystyle R}$.

Ogni gruppo finito possiede una presentazione finita, che si ricava direttamente dalla sua tavola di composizione: è sufficiente prendere ${\displaystyle S=G}$ e ${\displaystyle R}$ come l'insieme formato da tutti gli elementi del tipo ${\displaystyle g_{i}g_{j}g_{k}^{-1}}$, dove ${\displaystyle g_{i}g_{j}=g_{k}}$ è una entrata della tavola di composizione.

Presentazione ricorsiva

Se ${\displaystyle S}$ è indicizzato da un insieme ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {N} }$, esiste una funzione biiettiva ${\displaystyle f:\langle S\rangle \rightarrow \mathbb {N} }$ e un algoritmo che, dato ${\displaystyle f(w)\in \mathbb {N} }$ permette di trovare ${\displaystyle w\in \langle S\rangle }$ e viceversa (numerazione di Gödel). Dato un insieme ${\displaystyle U\subseteq \langle S\rangle }$, diciamo che ${\displaystyle U}$ è ricorsivo o ricorsivamente numerabile se lo è ${\displaystyle f(U)\in \mathbb {N} }$.

Se l'insieme delle relazioni è ricorsivamente numerabile, la presentazione è detta ricorsiva; in questo caso è sempre possibile trovare una presentazione del gruppo per cui l'insieme delle relazioni è ricorsivo (giustificando la sovrapposizione delle due notazioni).

Ogni gruppo finito ha una presentazione ricorsiva, mentre non è vero l'inverso. Un teorema dovuto a Graham Higman stabilisce che un gruppo finitamente generato ha una presentazione ricorsiva se e solo se è immerso in un gruppo a presentazione ricorsiva. Segue che, a meno di isomorfismi, esiste solo una quantità numerabile di gruppi a presentazione ricorsiva. Bernhard Neumann ha mostrato che esiste una quantità più che numerabile di gruppi a due generatori; pertanto esistono gruppi finitamente generati che non possono essere presentati ricorsivamente.

Proprietà

Per le presentazioni di un gruppo valgono le seguenti proprietà:

• ogni gruppo ha una presentazione;
• ogni gruppo finito ha una presentazione finita;
• in generale, esistono delle presentazioni per le quali nessun algoritmo è in grado di decidere se due parole descrivano lo stesso elemento del gruppo (problema delle parole);
• dati due gruppi ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle H}$ di presentazioni ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ e ${\displaystyle \langle T\mid Q\rangle }$, con ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle T}$ disgiunti, il prodotto libero ${\displaystyle G\star H}$ ha presentazione ${\displaystyle \langle S,T\mid R,Q\rangle }$;
• dati due gruppi ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle H}$ di presentazioni ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ e ${\displaystyle \langle T\mid Q\rangle }$, con ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle T}$ disgiunti, il prodotto diretto ${\displaystyle G\times H}$ ha presentazione ${\displaystyle \langle S,T\mid R,Q,[S,T]\rangle }$;

Esempi di presentazioni di gruppi

Nella tabella seguente sono riportate alcune presentazioni di gruppi di uso comune; molti di questi gruppi possiedono numerose altre possibili presentazioni che qui non sono riportate.

Gruppo	Presentazione	Note
Gruppo libero su ${\displaystyle S}$	${\displaystyle \langle S\mid \varnothing \rangle }$	Un gruppo libero non è soggetto ad alcuna relazione tra i suoi elementi.
Gruppo libero abeliano su ${\displaystyle S}$	${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$, dove ${\displaystyle R}$ è l'insieme di tutti i commutatori di ${\displaystyle S}$.
Gruppo simmetrico ${\displaystyle S_{n}}$	${\displaystyle \langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}^{2},[\sigma _{i},\sigma _{j}],\sigma _{i}[\sigma _{i+1}\sigma _{i}]\sigma _{i+1}^{-1}\rangle }$, dove la seconda relazione vale per ${\displaystyle j\neq i\pm 1}$.	La terza relazione si può sostituire con ${\displaystyle (\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3}}$, utilizzando la prima relazione. ${\displaystyle \sigma _{i}}$ è la permutazione che scambia l'i-esimo elemento con l'i+1-esimo. Il prodotto ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{i+1}}$ è un 3-ciclo sull'insieme ${\displaystyle \{i,i+1,i+2\}}$.
Gruppo di trecce ${\displaystyle B_{n}}$	${\displaystyle \langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid [\sigma _{i},\sigma _{j}],\sigma _{i}[\sigma _{i+1}\sigma _{i}]\sigma _{i+1}^{-1}\rangle }$, dove la prima relazione vale per ${\displaystyle j\neq i\pm 1}$.	L'unica differenza con il gruppo simmetrico è la mancanza della relazione ${\displaystyle {\sigma _{i}}^{2}=1}$.
${\displaystyle C_{n}}$, gruppo ciclico di ordine n	${\displaystyle \langle a\mid a^{n}\rangle }$
${\displaystyle D_{2n}}$, gruppo diedrale di ordine n	${\displaystyle \langle r,f\mid r^{n},f^{2},(rf)^{2}\rangle }$	${\displaystyle r}$ rappresenta una rotazione, ${\displaystyle f}$ una riflessione.
${\displaystyle D_{\infty }}$, gruppo diedrale infinito	${\displaystyle \langle r,f\mid f^{2},(rf)^{2}\rangle }$
${\displaystyle Dic_{n}}$, gruppo diciclico	${\displaystyle \langle r,f\mid r^{2n},r^{n}f^{-2},frf^{-1}r\rangle }$
Gruppo dei quaternioni ${\displaystyle Q}$	${\displaystyle \langle i,j\mid i^{4},i^{2}j^{2},ijij^{-1}\rangle }$	Equivale al gruppo diciclico ${\displaystyle Dic_{2}}$.
Il gruppo tetraedrale ${\displaystyle T\cong A_{4}}$	${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle }$	È il gruppo delle simmetrie di un tetraedro che conservano l'orientamento.
Il gruppo ottaedrale${\displaystyle O\cong S_{4}}$	${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle }$	È il gruppo delle simmetrie di un ottaedro che conservano l'orientamento.
Il gruppo icosaedrale ${\displaystyle I\cong A_{5}}$	${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle }$	È il gruppo delle simmetrie di un icosaedro che conservano l'orientamento.
${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \langle x,y\mid [x,y]\rangle }$
${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}\times \mathbb {Z} _{n}}$	${\displaystyle \langle x,y\mid x^{m},y^{n},[x,y]\rangle }$

Note

1. È sempre possibile definire due elementi ${\displaystyle (x,1)\in I\times \{-1,1\}}$ e ${\displaystyle (x,-1)\in I\times \{-1,1\}}$, che si identificano rispettivamente con ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle x^{-1}}$

Bibliografia

• (EN) D. L. Johnson, Presentations of Groups. Cambridge, Cambridge University, 1990. ISBN 0-521-37824-9
• (EN) H. S. M Coxeter, W. O. J. Moser, Generators and Relations for Discrete Groups. New York, Springer-Verlag, 1980. ISBN 0-387-09212-9

Voci correlate

• Insieme di generatori
• Tavola dei gruppi piccoli
• Teorema di Van Kampen, un esempio di teorema che fa uso di presentazioni di gruppi.

Collegamenti esterni

• Gruppo, presentazione di un, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Opere riguardanti Presentations of groups (Mathematics), su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, Group Presentation, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Presentation, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) Gruppi e grafi di Cayley, su geom.uiuc.edu.

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