In analisi complessa, il principio dell'argomento mette in relazione i poli e gli zeri di una funzione meromorfa con un integrale di linea.
Sia
, e sia
una catena omologa a zero in
. Sia
una funzione meromorfa su
, con un numero finito di zeri e poli,
, non appartenenti al supporto della curva
. Allora
dove
è l'ordine della funzione
in
, definito come l'indice del primo coefficiente non nullo della serie di Laurent della funzione
centrata in
, per ogni
.
Sia
. Allora la funzione
è olomorfa in
. Se si proverà che
, dal teorema dei residui, seguirà subito la tesi.
Consideriamo la serie di Laurent della funzione
centrata in
, la quale, per semplicità, la scriviamo come
, dove
denota l'ordine della funzione
nel punto
, ed
è una funzione olomorfa in
tale che
, per ogni
. Quindi vale che
dove la funzione
è olomorfa in
, per ogni
. Di conseguenza,
, per ogni
.
Sia
, e sia
una funzione meromorfa su
. Sia
una curva chiusa semplice in
tale che l'interno di
sia contenuto in
, ed il supporto di
non contenga zeri o poli della funzione
. Allora
dove
ed
indicano rispettivamente il numero di zeri e poli (contati con i loro ordini) interni alla curva
.