Principio dell'argomento

In analisi complessa, il principio dell'argomento mette in relazione i poli e gli zeri di una funzione meromorfa con un integrale di linea.

Enunciato

Sia ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} }$, e sia ${\displaystyle \gamma }$ una catena omologa a zero in ${\displaystyle \Omega }$. Sia ${\displaystyle f}$ una funzione meromorfa su ${\displaystyle \Omega }$, con un numero finito di zeri e poli, ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}\in \Omega }$, non appartenenti al supporto della curva ${\displaystyle \gamma }$. Allora

$${\displaystyle \int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz=2\pi i\sum _{i=1}^{n}{\text{Ind}}_{\gamma }(z_{i}){\text{ord}}_{z_{i}}(f),}$$dove ${\displaystyle {\text{ord}}_{z_{i}}(f)=m_{i}\in \mathbb {Z} }$ è l'ordine della funzione ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle z_{i}}$, definito come l'indice del primo coefficiente non nullo della serie di Laurent della funzione ${\displaystyle f}$ centrata in ${\displaystyle z_{i}}$, per ogni ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$.

Dimostrazione

Sia ${\displaystyle \Omega ':=\Omega \backslash \{z_{1},\dots ,z_{n}\}}$. Allora la funzione ${\displaystyle {\frac {f'}{f}}}$ è olomorfa in ${\displaystyle \Omega '}$. Se si proverà che ${\displaystyle {\text{Res}}_{z_{i}}\left({\frac {f'}{f}}\right)={\text{ord}}_{z_{i}}(f)}$, dal teorema dei residui, seguirà subito la tesi.

Consideriamo la serie di Laurent della funzione ${\displaystyle f}$ centrata in ${\displaystyle z_{i}}$, la quale, per semplicità, la scriviamo come ${\displaystyle f(z)=(z-z_{i})^{m_{i}}h(z)}$, dove ${\displaystyle m_{i}}$ denota l'ordine della funzione ${\displaystyle f}$ nel punto ${\displaystyle z_{i}}$, ed ${\displaystyle h}$ è una funzione olomorfa in ${\displaystyle z_{i}}$ tale che ${\displaystyle h(z_{i})\neq 0}$, per ogni ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$. Quindi vale che

$${\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}={\frac {m_{i}(z-z_{i})^{m_{i}-1}h(z)+(z-z_{i})^{m_{i}}h'(z)}{(z-z_{i})^{m_{i}}h(z)}}={\frac {m_{i}}{z-z_{i}}}+{\frac {h'(z)}{h(z)}},}$$dove la funzione ${\displaystyle {\frac {h'}{h}}}$ è olomorfa in ${\displaystyle z_{i}}$, per ogni ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$. Di conseguenza, ${\displaystyle {\text{Res}}_{z_{i}}\left({\frac {f'}{f}}\right)=m_{i}={\text{ord}}_{z_{i}}(f)}$, per ogni ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$.

Corollario

Sia ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} }$, e sia ${\displaystyle f}$ una funzione meromorfa su ${\displaystyle \Omega }$. Sia ${\displaystyle \gamma }$ una curva chiusa semplice in ${\displaystyle \Omega }$ tale che l'interno di ${\displaystyle \gamma }$ sia contenuto in ${\displaystyle \Omega }$, ed il supporto di ${\displaystyle \gamma }$ non contenga zeri o poli della funzione ${\displaystyle f}$. Allora$${\displaystyle \int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz=2\pi i(N_{0}-N_{\infty }),}$$dove ${\displaystyle N_{0}}$ ed ${\displaystyle N_{\infty }}$ indicano rispettivamente il numero di zeri e poli (contati con i loro ordini) interni alla curva ${\displaystyle \gamma }$.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Principio dell'argomento, su MathWorld, Wolfram Research.

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