Principio dell'argomento

In analisi complessa, il principio dell'argomento mette in relazione i poli e gli zeri di una funzione meromorfa con un integrale di linea.

Sia , e sia una catena omologa a zero in . Sia una funzione meromorfa su , con un numero finito di zeri e poli, , non appartenenti al supporto della curva . Allora

dove è l'ordine della funzione in , definito come l'indice del primo coefficiente non nullo della serie di Laurent della funzione centrata in , per ogni .

Dimostrazione

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Sia . Allora la funzione è olomorfa in . Se si proverà che , dal teorema dei residui, seguirà subito la tesi.

Consideriamo la serie di Laurent della funzione centrata in , la quale, per semplicità, la scriviamo come , dove denota l'ordine della funzione nel punto , ed è una funzione olomorfa in tale che , per ogni . Quindi vale che

dove la funzione è olomorfa in , per ogni . Di conseguenza, , per ogni .

Sia , e sia una funzione meromorfa su . Sia una curva chiusa semplice in tale che l'interno di sia contenuto in , ed il supporto di non contenga zeri o poli della funzione . Alloradove ed indicano rispettivamente il numero di zeri e poli (contati con i loro ordini) interni alla curva .

Collegamenti esterni

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