Processo di Poisson composto

In calcolo delle probabilità, un processo di Poisson composto è un processo stocastico a tempo continuo su ${\displaystyle \mathbb {N} }$ che compie dei salti la cui legge è associata a quella di un processo di Poisson, ma la cui lunghezza è determinata da una certa distribuzione scelta in precedenza.

Definizione

Un processo di Poisson composto ${\displaystyle \{Y(t):t\geq 0\}}$ è un processo stocastico definito da

${\displaystyle Y(t)=\sum _{i=1}^{N(t)}D_{i}}$

Dove ${\displaystyle \{N(t):t\geq 0\}}$ è un processo di Poisson di parametro λ e ${\displaystyle \{D_{i}:i\geq 1\}}$ sono variabili aleatorie indipendenti su ${\displaystyle \mathbb {N} }$, tutte con la stessa distribuzione D indipendente da ${\displaystyle N(t)}$

Un esempio può chiarire il concetto: consideriamo il numero dei tifosi che arrivano allo stadio a bordo di autobus dedicati.

${\displaystyle Y(t)}$ misura il numero dei tifosi pervenuti nel tempo ${\displaystyle t}$, il processo di Poisson ${\displaystyle N(t)}$ conta il numero degli autobus giunti nel tempo ${\displaystyle t}$ mentre la variabile ${\displaystyle D_{i}}$ è il numero dei tifosi che ogni autobus trasporta.

La quantità di tifosi trasportati da ogni autobus e il numero di autobus che arrivano sono variabili indipendenti, ciascuna con la propria distribuzione (che per il numero di autobus è la distribuzione di Poisson).

Proprietà

• Il valore atteso del processo è dato da

${\displaystyle \mathbb {E} (Y(t))=\lambda t\mathbb {E} (D)}$

• La varianza del processo è data da

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y(t))=\lambda t\mathbb {E} (D^{2})}$

• La funzione generatrice dei momenti è data da

${\displaystyle \mathbb {E} (e^{sY})=e^{\lambda t\left(M_{D}(s)-1\right)}}$

dove ${\displaystyle M_{D}(s)}$ è la funzione generatrice dei momenti di D

Voci correlate

• Processo di Poisson
• Distribuzione di Poisson

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