Processo telegrafico casuale

Un esempio di realizzazione nel tempo di un processo telegrafico casuale. Il segnale è stato simulato con il metodo Monte Carlo.

Nell'ambito della teoria della probabilità, il processo telegrafico casuale è un processo stocastico senza memoria e continuo nel tempo che può assumere due soli valori. Spesso viene impiegato come modello per la descrizione del rumore burst (spesso chiamato anche rumore popcorn o rumore telegrafico casuale). Detti ${\displaystyle c_{1}}$ e ${\displaystyle c_{2}}$ i due possibili valori che la variabile casuale può assumere, il processo può essere descritto a partire dalle seguenti equazioni differenziali:

${\displaystyle \partial _{t}P(c_{1},t|x,t_{0})=-\lambda _{1}P(c_{1},t|x,t_{0})+\lambda _{2}P(c_{2},t|x,t_{0})}$

e

${\displaystyle \partial _{t}P(c_{2},t|x,t_{0})=\lambda _{1}P(c_{1},t|x,t_{0})-\lambda _{2}P(c_{2},t|x,t_{0})}$

dove ${\displaystyle \lambda _{1}}$ e ${\displaystyle \lambda _{2}}$ indicano, rispettivamente, i tassi di transizione da ${\displaystyle c_{1}}$ a ${\displaystyle c_{2}}$ e da ${\displaystyle c_{2}}$ a ${\displaystyle c_{1}}$, e ${\displaystyle P(c_{i},t|x,t_{0})}$ indica la probabilità congiunta che il sistema all'istante ${\displaystyle t}$ si trovi nello stato ${\displaystyle c_{i}}$ quando al tempo ${\displaystyle t_{0}<t}$ si trovava nello stato ${\displaystyle x}$. Questo tipo di processo prende anche il nome di processo di Kac (dal matematico Mark Kac).^[1]

Soluzione del sistema di equazioni differenziali

Il sistema di equazioni differenziali può essere riscritto in forma compatta introducendo il vettore di densità di probabilità ${\displaystyle \mathbf {P} =[P(c_{1},t|x,t_{0}),P(c_{2},t|x,t_{0})]}$, così che questo diventi:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {P} }{dt}}=W\mathbf {P} }$

dove la matrice:

${\displaystyle W={\begin{pmatrix}-\lambda _{1}&\lambda _{2}\\\lambda _{1}&-\lambda _{2}\end{pmatrix}}}$

prende il nome di matrice del tasso di transizione. La soluzione del sistema, ${\displaystyle \mathbf {P} (t)}$, si ottiene definendo la condizione iniziale ${\displaystyle \mathbf {P} (0)}$, la quale descrive che all'istante ${\displaystyle t_{0}}$ il sistema si trova nello stato ${\displaystyle x\in \{c_{1},c_{2}\}}$. Se ${\displaystyle \mathbf {P} (0)}$ è definita, la generica soluzione può essere scritta come:

${\displaystyle \mathbf {P} (t)=e^{Wt}\mathbf {P} (0)}$.

dove il termine ${\displaystyle e^{Wt}}$ indica l'operazione di matrice esponenziale. Si può mostrare che vale l'uguaglianza:^[2]

${\displaystyle e^{Wt}=I+W{\frac {(1-e^{-2\lambda t})}{2\lambda }}}$

dove ${\displaystyle I}$ è la matrice identità e ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1}+\lambda _{2})/2}$ è il tasso di transizione medio. Nel limite di ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$, la soluzione approccia il regime stazionario ${\displaystyle \mathbf {P} (t\rightarrow \infty )=\mathbf {P} _{s}}$ dato da:

${\displaystyle \mathbf {P} _{s}={\frac {1}{2\lambda }}{\begin{pmatrix}\lambda _{2}\\\lambda _{1}\end{pmatrix}}}$

Proprietà

Destra: evoluzione nel tempo della media di un processo telegrafico casuale. Sinistra: evoluzione nel tempo della varianza di un processo telegrafico casuale. Il risultato è ottenuto da una simulazione Monte Carlo.

La dipendenza dallo stato iniziale decade esponenzialmente nel tempo. Ciò implica che se il sistema viene inizialmente osservato all'istante ${\displaystyle t_{0}}$, una successiva osservazione all'istante ${\displaystyle t=t_{0}+\Delta t}$, supposto che valga ${\displaystyle \Delta t\gg (2\lambda )^{-1}}$, darà un risultato totalmente indipendente dallo stato osservato a ${\displaystyle t_{0}}$. Più precisamente, all'istante ${\displaystyle t}$ il sistema avrà raggiunto lo stato stazionario, indicato dal pedice s e caratterizzato da:

• Media:

${\displaystyle \langle X\rangle _{s}={\frac {c_{1}\lambda _{2}+c_{2}\lambda _{1}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.}$

• Varianza:

${\displaystyle \operatorname {var} \{X\}_{s}={\frac {(c_{1}-c_{2})^{2}\lambda _{1}\lambda _{2}}{(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{2}}}.}$

è possibile anche calcolare la funzione di correlazione, che vale:

${\displaystyle \langle X(t),X(u)\rangle _{s}=e^{-2\lambda |t-u|}\operatorname {var} \{X\}_{s}.}$

Applicazioni

Il processo telegrafico trova ampio impiego nella modellistica di diversi fenomeni:

• In finanza, per descrivere i prezzi delle azioni^[1]
• In biologia, per descrivere i processi di binding e unbinding del fattore di trascrizione
• In fisica, per descrivere le proprietà dicotomiche dei sistemi di spin e dell'intermittenza di fluorescenza
• In elettronica, per descrivere le fluttuazioni di corrente indotte dal cambio di occupazione dei difetti microscopici presenti nei dispositivi microelettronici

Note

1. (EN) Yu. V. Bondarenko, Probabilistic Model for Description of Evolution of Financial Indices, in Cybernetics and Systems Analysis, vol. 36, n. 5, 1º settembre 2000, pp. 738–742, DOI:10.1023/A:1009437108439. URL consultato il 6 luglio 2023.
2. Balakrishnan, V. (2020). Mathematical Physics: Applications and Problems. Springer International Publishing. pp. 474

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