Prodotto semidiretto

In algebra, il prodotto semidiretto è un'estensione del concetto di prodotto diretto. Così come il prodotto diretto, un prodotto semidiretto di due gruppi ${\displaystyle (G_{1},\cdot ),(G_{2},\star )}$ è un gruppo che ha come elementi quelli del prodotto cartesiano ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$, la cui legge di composizione dipende però anche da un omomorfismo particolare scelto fra gli omomorfismi ${\displaystyle \psi \colon (G_{2},\star )\to \mathrm {Aut} ((G_{1},\cdot ))}$.^[1]

Definizione

Dati due gruppi ${\displaystyle (G_{1},\cdot ),(G_{2},\star )}$ ed un omomorfismo ${\displaystyle \psi \colon (G_{2},\star )\rightarrow \mathrm {Aut} ((G_{1},\cdot ))}$, chiamiamo prodotto semidiretto di ${\displaystyle G_{1}}$ e ${\displaystyle G_{2}}$ secondo ${\displaystyle \psi }$ il prodotto cartesiano ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$ dotato della seguente operazione:

${\displaystyle (a,b)*(c,d)=(a\cdot \psi _{b}(c),b\star d)}$

dove indichiamo con ${\displaystyle \psi _{b}}$ l'automorfismo ${\displaystyle \psi (b)}$ appartenente all'insieme ${\displaystyle \mathrm {Aut} ((G_{1},\cdot ))}$.

Il prodotto semidiretto di ${\displaystyle G_{1}}$ e ${\displaystyle G_{2}}$ secondo ${\displaystyle \psi }$ può essere indicato come

${\displaystyle (G_{1},\cdot )\rtimes _{\psi }(G_{2},\star )}$.

Prodotto diretto e semidiretto

Il prodotto diretto ${\displaystyle (G_{1},\cdot )\times (G_{2},\star )}$ è un caso particolare di prodotto semidiretto: quello ottenuto considerando tra ${\displaystyle (G_{2},\star )}$ e ${\displaystyle \mathrm {Aut} ((G_{1},\cdot ))}$ l'omomorfismo:

${\displaystyle \psi (b)=\mathrm {Id} _{1},\quad \forall b\in G_{2}}$

dove ${\displaystyle \mathrm {Id} _{1}}$ è l'automorfismo identità in ${\displaystyle (G_{1},\cdot )}$. Infatti l'operazione su ${\displaystyle (G_{1},\cdot )\rtimes _{\psi }(G_{2},\star )}$ sarà a questo punto:

${\displaystyle (a,b)*(c,d)=(a\cdot \psi _{b}(c),b\star d)=(a\cdot \mathrm {Id} _{1}(c),b\star d)=(a\cdot c,b\star d).}$

Questa, per l'appunto, non è altro che l'operazione del prodotto diretto.

Teorema sulla decomposizione in prodotto semidiretto

Sia ${\displaystyle (G,*)}$ un gruppo e siano ${\displaystyle H,K}$ due suoi sottogruppi.

Se:

• ${\displaystyle H\triangleleft G}$ (${\displaystyle H}$ è normale in ${\displaystyle G}$),
• ${\displaystyle G=HK=\{h*k\mid h\in H,k\in K\},}$
• ${\displaystyle H\cap K=\{e\},}$

allora ${\displaystyle G\cong H\rtimes _{\psi }K}$, dove ${\displaystyle \psi _{k}(h)=khk^{-1}}$ (ossia ogni elemento viene mappato da ${\displaystyle \psi }$ nel rispettivo automorfismo coniugio).

L'isomorfismo tra ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle H\rtimes _{\psi }K}$ sarà quello che manda il generico elemento ${\displaystyle h*k}$ in ${\displaystyle (h,k)}$.

Esempi di gruppi semidiretti

• Dato un gruppo avente ordine ${\displaystyle pq}$, con ${\displaystyle p,q}$ numeri primi distinti, ${\displaystyle p<q}$, esso, per il teorema enunciato e per i teoremi di Sylow^[2], sarà decomponibile come:

  ${\displaystyle \mathbb {Z} _{q}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{p}.}$

  In particolare, se ${\displaystyle p}$ non divide ${\displaystyle |\mathrm {Aut} (\mathbb {Z} _{q})|=\varphi (q)=q-1}$ (${\displaystyle \varphi }$ è la funzione φ di Eulero), l'unico omomorfismo tra ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ e ${\displaystyle \mathrm {Aut} (\mathbb {Z} _{q})}$ è quello che mappa ogni elemento nella funzione identità, e quindi in tale caso

  ${\displaystyle G\cong \mathbb {Z} _{q}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{p}=\mathbb {Z} _{q}\times \mathbb {Z} _{p}}$

• Ogni gruppo diedrale ${\displaystyle D_{n}}$ è isomorfo al seguente prodotto semidiretto:

  ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{2},}$

  dove ${\displaystyle \psi (0)}$ è l'identità su ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ e ${\displaystyle \psi (1)}$ è l'applicazione che manda ogni elemento ${\displaystyle m}$ di ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ nel suo opposto ${\displaystyle -m}$.^[3] In particolare un isomorfismo ${\displaystyle \phi \colon D_{n}\rightarrow \mathbb {Z} _{n}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{2}}$ è quello tale che:
  • ${\displaystyle \phi (r)=(1,0),}$
  • ${\displaystyle \phi (s)=(0,1),}$
  e quindi^[4]

  ${\displaystyle \phi (r^{h}s^{k})=(h,k),}$

  dove ${\displaystyle r,s}$ sono rispettivamente una rotazione di angolo minimo e una simmetria fissata.
• Il gruppo di Poincaré, il gruppo di isometrie dello spazio-tempo di Minkowski, è il prodotto semidiretto delle traslazioni e delle trasformazioni di Lorentz
• Il gruppo fondamentale della bottiglia di Klein può essere scritto nella forma

  ${\displaystyle \langle a,b\mid aba^{-1}=b^{-1}\rangle ,}$

  ed è perciò prodotto semidiretto del gruppo degli interi, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, con sé stesso.

Applicazioni

I prodotti semidiretti sono di aiuto nella classificazione dei gruppi, ad esempio permettono di classificare tutti i gruppi di ordine ${\displaystyle pq}$ con ${\displaystyle p,q}$ primi e ${\displaystyle p<q}$:

Se ${\displaystyle q\not \equiv 1{\bmod {p}},}$ c'è un solo gruppo ed è ${\displaystyle \mathbb {Z} _{pq}.}$

Se ${\displaystyle q\equiv 1{\bmod {p}},}$ ce ne sono due, uno è ${\displaystyle \mathbb {Z} _{pq}}$ e l'altro, non abeliano, è dato da ${\displaystyle \{{\begin{pmatrix}x&y\\0&1\end{pmatrix}}:x\in \mathbb {Z} _{q}^{*},y\in \mathbb {Z} _{q},x^{p}\equiv 1{\bmod {q}}\}\subset {\text{Aff}}(\mathbb {Z} _{q}).}$

Di seguito è riportato un esempio di come il prodotto semidiretto ci può aiutare a classificare i gruppi di un ordine assegnato.

Classificazione dei gruppi di ordine 30:

Sia ${\displaystyle \mid G\mid =30=2\cdot 3\cdot 5}$ allora per i teoremi di sylow ${\displaystyle G}$ contiene un sottogruppo di ordine 2, uno di ordine 3 e uno di ordine 5, e vale ${\displaystyle n_{5}\in \{1,6\}}$ e ${\displaystyle n_{3}\in \{1,10\}}$. Non può essere contemporaneamente ${\displaystyle n_{3}=10}$ e ${\displaystyle n_{5}=6}$ altrimenti ${\displaystyle G}$ avrebbe 20 elementi di ordine 3 e 24 di ordine 5, allora almeno uno dei due sottogruppi è normale e possiamo quindi considerare il loro prodotto che è un sottogruppo di ${\displaystyle G}$ di ordine 15. Per il teorema precedente deve necessariamente essere ciclico e poiché ha indice 2 deve essere normale.

Per il teorema sulla decomposizione in prodotto semidiretto ${\displaystyle G\cong \mathbb {Z} _{15}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{2}}$ con ${\displaystyle \psi \colon \mathbb {Z} _{2}\rightarrow {\text{Aut}}(\mathbb {Z} _{15})\cong \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}}$ che agisce per coniugio. Contiamo ora gli omomorfismi da ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ a ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}}$ questi sono 4, infatti dobbiamo scegliere dove mandare ${\displaystyle 1}$ che ha ordine 2 e poiché ${\displaystyle \psi }$ è un omomorfismo ${\displaystyle \psi (1)\mid 2}$, allora ${\displaystyle \psi (1)\in \{(0,0),(0,2),(1,0),(1,2)\}}$. Abbiamo mostrato che ci sono al più 4 gruppi di ordine 30 e considerando ${\displaystyle \mathbb {Z} _{30},\mathbb {Z} _{3}\times D_{5},\mathbb {Z} _{5}\times D_{3},D_{15},}$ è facile vedere che questi sono 4 gruppi di ordine 30 non isomorfi.

Proprietà

Mentre il prodotto diretto di due gruppi abeliani è sempre abeliano, non si può dire altrettanto del prodotto semidiretto (un esempio è dato dai gruppi diedrali, dato che ${\displaystyle D_{n}}$ è non abeliano per ogni ${\displaystyle n\geq 3}$), e anzi, un prodotto semidiretto di due gruppi abeliani è abeliano se e solo se il prodotto semidiretto coincide con quello diretto.

Note

1. Dato un gruppo ${\displaystyle G}$, si indica con ${\displaystyle \mathrm {Aut} (G)}$ il gruppo degli automorfismi di ${\displaystyle G}$ (isomorfismi di ${\displaystyle G}$ in sé stesso), dotati dell'operazione di composizione.
2. Osserviamo che infatti un sottogruppo di ordine ${\displaystyle p}$ esiste e sarà normale in quanto caratteristico.
3. Visto nel gruppo diedrale, ${\displaystyle \psi _{s}(r)=srs^{-1}=r^{-1}}$
4. Essendo ${\displaystyle r,s}$ generatori per l'intero gruppo diedrale, l'isomorfismo è ben definito definendo semplicemente le loro immagini.

Voci correlate

• Prodotto diretto
• Prodotto intrecciato

Collegamenti esterni

• Prodotto semidiretto, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Semidirect Product, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Semidirect Product, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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