In fisica, in particolare nella teoria della relatività ristretta e in relatività generale, la quadrivelocità di un oggetto è un quadrivettore, ambientato nello spaziotempo di Minkowski, che generalizza la velocità tridimensionale definita nella meccanica classica. Si tratta di una grandezza cinematica tale per cui la velocità della luce è costante in ogni sistema di riferimento inerziale.
Nello spaziotempo di Minkowski l'evoluzione delle coordinate spaziali di un oggetto nel tempo è descritta da una curva, che è parametrizzata dal tempo proprio. La quadrivelocità è il vettore che ha per componenti la variazione delle coordinate spaziali e temporali rispetto al tempo proprio. La sua norma, invariante per trasformazioni di Lorentz, è solitamente posta uguale alla velocità della luce (esso ha quindi solo direzione variabile).
Esplicitamente, la quadrivelocità è definita come il vettore:[1]
dove è il fattore di Lorentz:
con la norma euclidea della velocità classica .
In meccanica classica la traiettoria di un oggetto è descritta in tre dimensioni dalle sue coordinate , con , espresse in funzione del tempo :
dove è l'i-esima componente della posizione al tempo . Le componenti della velocità nel punto tangente alla traiettoria sono:
dove le derivate sono valutate in .
Nello spaziotempo di Minkowski le coordinate sono , con , in cui è la componente temporale moltiplicata per c. La parametrizzazione avviene inoltre in funzione del tempo proprio :
Considerando il fenomeno detto dilatazione dei tempi:
la quadrivelocità relativa a è definita come:
La relazione tra e è data da
Effettuando la derivata rispetto al tempo proprio si ottiene la componente per :
Utilizzando la regola della catena, per si ha:
dove si è sfruttato il fatto che in meccanica classica:
La quadrivelocità è pertanto:
Per calcolare la norma che è costante, prendiamo il seguente caso: sistema a riposo e , pertanto e la direzione del vettore è l'asse temporale.
Si ha:
se la segnatura della metrica di Minkowski è :
e inoltre:
La norma della quadrivelocità è dunque pari alla velocità della luce. La norma della trivelocità non è ovviamente un invariante (tranne il caso in cui ). Differenziando, nella trivelocità , una componente di trascinamento, , e una componente riferita al sistema in moto, , si può calcolare la diminuzione di quando essa è misurata nel sistema in quiete.
- Richard Feynman, La fisica di Feynman, Bologna, Zanichelli, 2001, ISBN 978-88-08-16782-8.:
- Vol I, par. 13.1: I quadrivettori, p.25-4
- (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.