Rappresentazione di Schrödinger

In meccanica quantistica, uno stato è dato da una combinazione lineare (o sovrapposizione) di autostati. Nella rappresentazione di Schrödinger (in inglese Schrödinger picture) gli stati del sistema evolvono nel tempo. L'evoluzione per un sistema quantistico chiuso è data da un operatore unitario chiamato operatore di evoluzione temporale.

Rappresentazioni alternative sono la rappresentazione di Heisenberg e la rappresentazione di interazione.

L'operatore di evoluzione temporale

Lo stesso argomento in dettaglio: Operatore di evoluzione temporale.

Definizione

L'operatore ${\displaystyle U(t,t_{0})}$ è definito come:

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$

Ossia, quando l'operatore agisce sullo stato ket al tempo ${\displaystyle t_{0}}$ restituisce il ket evoluto al tempo successivo ${\displaystyle t}$. Per i bra, invece vale:

${\displaystyle \langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})}$

Proprietà

Unitarietà

L'operatore di evoluzione temporale deve essere unitario. Questo perché la norma dello stato non deve cambiare con il tempo essendo legata alla probabilità, che si deve conservare. Quindi:

${\displaystyle \langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$

allora:

${\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=I(U(t,t_{0})).}$

Riduzione all'identità

${\displaystyle U(t_{0},t_{0})=I}$ dove ${\displaystyle I}$ è l'operatore identità. Quindi:

${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$

Composizione

L'evoluzione temporale da ${\displaystyle t_{0}}$ a ${\displaystyle t}$ può essere vista come l'evoluzione da ${\displaystyle t_{0}}$ a ${\displaystyle t_{1}}$ e quindi da ${\displaystyle t_{1}}$ a ${\displaystyle t}$. Pertanto:

${\displaystyle U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0})}$

Equazione differenziale per l'operatore di evoluzione temporale

Nel seguito si assumerà che ${\displaystyle t_{0}=0}$ e ${\displaystyle U(0t)=U(t)}$. L'equazione di Schrödinger si può scrivere come:

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)|\psi _{e}(0)\rangle =HU(t)|\psi _{e}(0)\rangle }$

Con ${\displaystyle H}$ Hamiltoniana del sistema. Sia ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$ lo stato al tempo ${\displaystyle t=0}$ abbiamo che vale:

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)=HU(t)}$

ovvero abbiamo scritto che l'operatore di evoluzione temporale rispetta l'equazione di Schrödinger, una soluzione di questa equazione è:

${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }.}$

Dove abbiamo usato anche che il fatto che a ${\displaystyle t=0}$, ${\displaystyle U(t)=I}$ si riduce all'identità. Quindi otteniamo:

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle \,.}$

Si noti che ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$ è un ket arbitrario. Tuttavia, se partiamo con un ket che sia autostato dell'Hamiltoniana, con autovolare ${\displaystyle E}$, abbiamo:

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle \,.}$

Quindi vediamo che gli autostati dell'Hamiltoniana sono stati stazionari, essi ricevono solamente un fattore di fase quando evolvono nel tempo quindi un sistema che si trovi al tempo ${\displaystyle t=0}$ in un autostato, rimane in quell'autostato.

Se l'Hamiltoniana dipende dal tempo ma Hamiltoniane a tempi diversi commutano allora l'operatore di evoluzione temporale si può scrivere:

${\displaystyle U(t)=T\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t^{'})\,dt^{'}}\right)\,.}$

con ${\displaystyle T}$ operatore di ordinamento temporale.

Bibliografia

• Principles of Quantum Mechanics by R. Shankar, Plenum Press.
• Jun John Sakurai, 2.2, in Meccanica quantistica moderna, Zanichelli, febbraio 1990, ISBN 88-08-12706-0.

Voci correlate

• equazione di Hamilton–Jacobi
• Rappresentazione di interazione
• Rappresentazione di Heisenberg