Canale s
Nella fisica delle particelle si chiama scattering di Bhabha [1] il processo di diffusione elastica tra elettrone e positrone :
e
+
e
−
→
e
+
e
−
.
{\displaystyle \mathrm {e} ^{+}\mathrm {e} ^{-}\,\to \,\mathrm {e} ^{+}\mathrm {e} ^{-}.}
Deve il proprio nome al fisico indiano Homi Jehangir Bhabha , che per primo lo studiò[2] .
I diagrammi di Feynman che contribuiscono allo scattering di Bhabha sono due: uno di annichilazione (detto anche di canale
s
{\displaystyle s}
) e uno di diffusione coulombiana (detto anche di canale
t
{\displaystyle t}
).
Canale t
L'elemento di matrice è dato, dunque, dalla somma degli elementi di matrice dei singoli diagrammi. Applicando le regole di Feynman si arriva a calcolare la sezione d'urto differenziale nell'angolo (solido) di diffusione, in approssimazione di Born :
d
σ
d
Ω
=
α
2
8
E
2
(
t
2
+
u
2
s
2
+
u
2
+
s
2
t
2
+
2
u
2
t
s
)
,
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {\alpha ^{2}}{8E^{2}}}\left({\frac {t^{2}+u^{2}}{s^{2}}}+{\frac {u^{2}+s^{2}}{t^{2}}}+2{\frac {u^{2}}{ts}}\right),}
dove
α
{\displaystyle \alpha }
è la costante d'accoppiamento dell'elettrodinamica quantistica ,
E
{\displaystyle E}
l'energia nel centro di massa e
s
{\displaystyle s}
,
t
{\displaystyle t}
,
u
{\displaystyle u}
sono gli invarianti cinematici di Mandelstam . Fissando, ora, la cinematica tipica
{
p
1
=
(
E
,
0
,
0
,
E
)
p
2
=
(
E
,
0
,
0
,
−
E
)
q
1
=
(
E
,
0
,
E
sin
ϑ
,
E
cos
ϑ
)
q
2
=
(
E
,
0
,
−
E
sin
ϑ
,
−
E
cos
ϑ
)
,
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}p_{1}=\left(E,\,0,\,0,\,E\right)\\p_{2}=\left(E,\,0,\,0,\,-E\right)\\q_{1}=\left(E,\,0,\,E\sin \vartheta ,\,E\cos \vartheta \right)\\q_{2}=\left(E,\,0,\,-E\sin \vartheta ,\,-E\cos \vartheta \right)\end{matrix}}\right.,}
dove
p
1
{\displaystyle p_{1}}
e
p
2
{\displaystyle p_{2}}
(
q
1
{\displaystyle q_{1}}
e
q
2
{\displaystyle q_{2}}
) sono rispettivamente i quadrimpulsi del positrone e dell'elettrone di stato iniziale (finale), si ottiene:
d
σ
d
Ω
=
α
2
8
E
2
(
1
+
cos
2
ϑ
2
+
1
+
cos
4
ϑ
2
sin
4
ϑ
2
−
2
cos
4
ϑ
2
sin
2
ϑ
2
)
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {\alpha ^{2}}{8E^{2}}}\left({\frac {1+\cos ^{2}\vartheta }{2}}+{\frac {1+\cos ^{4}{\frac {\vartheta }{2}}}{\sin ^{4}{\frac {\vartheta }{2}}}}-{\frac {2\cos ^{4}{\frac {\vartheta }{2}}}{\sin ^{2}{\frac {\vartheta }{2}}}}\right).}
È possibile osservare che la sezione d'urto differenziale diverge per piccoli angoli di diffusione
ϑ
{\displaystyle \vartheta }
. La sezione d'urto integrata, invece, mostra un tipico andamento decrescente all'aumentare dell'energia nel centro di massa.