Serie telescopica

L'espressione "serie telescopica" è un termine informale con cui si indica una serie

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$

i cui termini appaiono nella forma

${\displaystyle a_{k}=A_{k+1}-A_{k}}$

in questo caso le somme parziali si possono esprimere come differenza del primo e ultimo termine della successione ${\displaystyle \{A_{k}\}}$:

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}(A_{k+1}-A_{k})=({\cancel {A_{2}}}-A_{1})+({\cancel {A_{3}}}-{\cancel {A_{2}}})+({\cancel {A_{4}}}-{\cancel {A_{3}}})+\cdots +({\cancel {A_{n}}}-{\cancel {A_{n-1}}})+(A_{n+1}-{\cancel {A_{n}}})=A_{n+1}-A_{1}\,,}$

e il calcolo della serie si riduce al calcolo del limite della successione ${\displaystyle \{A_{k}\}}$, dato che, a questo punto, risulta l'unica operazione non banale:

${\displaystyle \quad \lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }A_{n+1}-A_{1}=\ldots }$

Esempi

• Un tipico esempio è la serie di Mengoli:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}.}$

Si può dimostrare che la somma di questa serie è ${\displaystyle 1}$ infatti

${\displaystyle {\frac {1}{k(k+1)}}=\left(-{\frac {1}{k+1}}\right)-\left(-{\frac {1}{k}}\right),}$

cioè si tratta di una serie telescopica con ${\displaystyle A_{k}=-{\frac {1}{k}}}$ e quindi

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}=\lim _{n\to \infty }\left(-{\frac {1}{n+1}}\right)-(-1)=1.}$

• Altro esempio è la serie geometrica:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}q^{k}=\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {1-q^{k+1}}{1-q}}-{\frac {1-q^{k}}{1-q}}\right)={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}},\quad {\text{per }}q\neq 1,}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}q^{k}=n+1,\quad {\text{per }}q=1,}$

da cui si dimostra subito che se ${\displaystyle \left|q\right|<1}$ la serie converge a ${\displaystyle {\frac {1}{1-q}}}$.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Serie telescopica, su MathWorld, Wolfram Research.

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