Sfenocorona

Sfenocorona
Tipo	Solido di Johnson J85 - J86 - J87
Forma facce	2×2+2×4 Triangoli 2 Quadrati
Nº facce	14
Nº spigoli	22
Nº vertici	10
Caratteristica di Eulero	2
Incidenza dei vertici	4(3^3.4) 2(3^2.4^2) 2x2(3^5)
Gruppo di simmetria	C2v
Proprietà	Convessità
Sviluppo piano

In geometria solida, la sfenocorona è un poliedro con 14 facce, 2 quadrate e 12 triangolari. Per dare un'idea della sua costruzione, si pensi che, nella sua nomenclatura, Norman Johnson utilizza il prefisso "sfeno-" per riferirsi a un complesso a forma di cuneo formato da due "lune" adiacenti, essendo una luna un composto formato da un quadrato e da due triangoli uniti ai lati opposti di quest'ultimo, mentre il suffisso "-corona" si riferisce invece a un complesso a forma di corona costituito da 8 triangoli equilateri. Unendo assieme i due complessi si ha la sfenocorona.

Caratteristiche

Una sfenocorona avente per facce solamente poligoni regolari è uno dei 92 solidi di Johnson, in particolare quello indicato come J₈₆, ossia un poliedro strettamente convesso avente come facce dei poligoni regolari ma comunque non appartenente alla famiglia dei poliedri uniformi,^[1] ed è parte di un gruppo di nove solidi di Johnson che non possono essere realizzati attraverso la manipolazione di solidi platonici o archimedei.

Per quanto riguarda i 10 vertici di questo poliedro, su 2 di essi incidono due facce quadrate e due triangolari, su 4 di essi incidono una faccia quadrate e tre triangolari, e sui restanti 4 vertici incidono invece 5 facce triangolari.

Per quanto riguarda gli spazi di dimensione maggiore di 3, la sfenocorona è anche la figura al vertice di un antiprismoide doppio n-gonale, dove n è un numero dispari maggiore di 1, incluso il grande antiprisma.

Formule

Considerando una sfenocorona avente come facce dei poligoni regolari aventi lato di lunghezza ${\displaystyle a}$, le formule per il calcolo del volume ${\displaystyle V}$ e della superficie ${\displaystyle A}$ risultano essere:

${\displaystyle V={\frac {a^{3}}{2}}{\sqrt {1+3{\sqrt {\frac {3}{2}}}+{\sqrt {13+3{\sqrt {6}}}}}}\approx 1,5153516\ldots a^{3};}$

${\displaystyle A=a^{2}\left(2+3{\sqrt {3}}\right)\approx 7,1961524\ldots a^{2}.}$

Coordinate cartesiante

Sia k ≈ 0,85273 la più piccola radice positiva del seguente polinomio di quarto grado:

${\displaystyle 60x^{4}-48x^{3}-100x^{2}+56x+23.}$

Allora le coordinate cartesiane di una sfenocorona con spigolo di lunghezza 2 sono date dall'unione dei seguenti punti:

${\displaystyle (0,1,2{\sqrt {1-k^{2}}}),\,(2k,1,0),\left(0,1+{\frac {\sqrt {3-4k^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}}}},{\frac {1-2k^{2}}{\sqrt {1-k^{2}}}}\right),\,(1,0,-{\sqrt {2+4k-4k^{2}}})}$

sotto l'azione delle riflessioni attraverso il piano xz e il piano yz.^[2]

Note

1. Norman W. Johnson, Convex Polyhedra with Regular Faces, in Canadian Journal of Mathematics, vol. 18, Canadian Mathematical Society, 1966, pp. 169-200, DOI:10.4153/CJM-1966-021-8. URL consultato il 14 luglio 2021.
2. A. V. Timofeenko, The non-Platonic and non-Archimedean noncomposite polyhedra, in Journal of Mathematical Science, vol. 162, n. 5, 2009, p. 718.

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Sfenocorona, su MathWorld, Wolfram Research.

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