Sistema F

Il sistema F, anche conosciuto come lambda calcolo polimorfico o lambda calcolo di secondo ordine, è un lambda calcolo tipizzato. È stato scoperto indipendentemente dal logico Jean-Yves Girard e dall'informatico John C. Reynolds. Il sistema F formalizza la nozione di polimorfismo parametrico nei linguaggi di programmazione e pone le basi per linguaggi come Haskell, ML, e F#. Come sistema di riscrittura di termini, è fortemente normalizzante.

Descrizione

Come il lambda calcolo è composto da variabili sulle funzioni e relativi binder, così il lambda calcolo di secondo ordine ha variabili sui tipi e relativi binder.

Ad esempio, il fatto che la funzione identità può essere di qualunque tipo della forma A→ A può essere formalizzato nel sistema F come segue:

${\displaystyle \vdash \Lambda \alpha .\lambda x^{\alpha }.x:\forall \alpha .\alpha \to \alpha }$

dove α è una variabile di tipo. Il ${\displaystyle \Lambda }$ maiuscolo è usato per indicare una funzione parametrica rispetto alla variabile di tipo α, mentre il ${\displaystyle \lambda }$ minuscolo viene usato per indicare l'input di un termine x.

Sotto l'isomorfismo di Curry-Howard, il sistema F corrisponde a una logica proposizionale di secondo ordine.

Il sistema F può essere visto come parte del lambda cubo, insieme ad altri lambda calcoli tipati più espressivi, inclusi quelli con solo tipi dipendenti.

Logica e predicati

Il tipo Boolean è definito come segue: ${\displaystyle \forall \alpha .\alpha \to \alpha \to \alpha }$, dove α è una variabile di tipo. Questo produce le seguenti due definizioni per i valori booleani TRUE e FALSE:

TRUE := ${\displaystyle \Lambda \alpha .\lambda x^{\alpha }\lambda y^{\alpha }.x}$

FALSE := ${\displaystyle \Lambda \alpha .\lambda x^{\alpha }\lambda y^{\alpha }.y}$

Così, con questi due λ-termini, possiamo definire alcuni operatori logici:

AND := ${\displaystyle \lambda x^{Boolean}\lambda y^{Boolean}.((x(Boolean))y)FALSE}$

OR := ${\displaystyle \lambda x^{Boolean}\lambda y^{Boolean}.((x(Boolean))TRUE)y}$

NOT := ${\displaystyle \lambda x^{Boolean}.((x(Boolean))FALSE)TRUE}$

Non c'è un vero bisogno di una funzione IFTHENELSE visto che si possono usare direttamente i termini grezzi di tipo booleano come funzioni di decisione. Comunque, se necessario:

IFTHENELSE := ${\displaystyle \Lambda \alpha .\lambda x^{Boolean}\lambda y^{\alpha }\lambda z^{\alpha }.((x(\alpha ))y)z}$

soddisfa tale necessità. Un predicato è una funzione che ritorna un valore booleano. Uno dei predicati fondamentali è ISZERO che ritorna TRUE se e solo se il suo argomento è il numerale di Church 0:

ISZERO := λ n. n (λ x. FALSE) TRUE

Strutture del sistema F

Il sistema F permette alle costruzioni ricorsive di essere incluse in modo naturale.

Le strutture astratte (S) sono create usando i constructors. Essi sono funzioni tipate come segue:

${\displaystyle K_{1}\rightarrow K_{2}\rightarrow \dots \rightarrow S}$.

La ricorsività diventa manifesta se ${\displaystyle S}$ stesso appare in uno dei tipi ${\displaystyle K_{i}}$. Se abbiamo ${\displaystyle m}$ di questi costruttori, possiamo definire un tipo di ${\displaystyle S}$ come segue:

${\displaystyle \forall \alpha .(K_{1}^{1}[\alpha /S]\rightarrow \dots \rightarrow \alpha )\dots \rightarrow (K_{1}^{m}[\alpha /S]\rightarrow \dots \rightarrow \alpha )\rightarrow \alpha }$

Ad esempio, i numeri naturali possono essere definiti come un tipo di dato induttivo ${\displaystyle N}$ con costruttori

${\displaystyle {\mathit {zero}}:\mathrm {N} }$

${\displaystyle {\mathit {succ}}:\mathrm {N} \to \mathrm {N} }$

Nel sistema F il tipo corrispondente a questa struttura è ${\displaystyle \forall \alpha .\alpha \to (\alpha \to \alpha )\to \alpha }$. I termini di questo tipo costituiscono una versione tipata dei numerali di Church, i primi dei quali sono:

0 := ${\displaystyle \Lambda \alpha .\lambda x^{\alpha }.\lambda f^{\alpha \to \alpha }.x}$

1 := ${\displaystyle \Lambda \alpha .\lambda x^{\alpha }.\lambda f^{\alpha \to \alpha }.fx}$

2 := ${\displaystyle \Lambda \alpha .\lambda x^{\alpha }.\lambda f^{\alpha \to \alpha }.f(fx)}$

3 := ${\displaystyle \Lambda \alpha .\lambda x^{\alpha }.\lambda f^{\alpha \to \alpha }.f(f(fx))}$

Se si inverte l'ordine degli argomenti (cioè, ${\displaystyle \forall \alpha .(\alpha \to \alpha )\to \alpha \to \alpha }$), allora il numerale di Church per ${\displaystyle n}$ è una funzione che ha una funzione f come argomento e ritorna l'${\displaystyle n}$^esima potenza di f. Ciò vuol dire che un numerale di Church è una funzione di ordine superiore -- che prende una funzione con un solo argomento f e ritorna un'altra funzione con un singolo argomento.

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