Sistema tempo-invariante

Un sistema tempo-invariante o sistema stazionario, talvolta abbreviato in TIV (dall'acronimo inglese Time-Invariant System), è un sistema dinamico in cui l'uscita non dipende esplicitamente dal tempo. I sistemi tempo-invarianti sono descritti matematicamente da equazioni autonome e dalla funzione di trasferimento, e sono caratterizzati dal fatto che se un ingresso ${\displaystyle x(t)}$ produce l'uscita ${\displaystyle y(t)}$ allora per ogni ingresso traslato ${\displaystyle x(t+\delta )}$ si ha un'uscita traslata dello stesso fattore ${\displaystyle y(t+\delta )}$.

Tra i sistemi stazionari maggiormente studiati ci sono quelli lineari.

Definizione

Si consideri l'operatore di traslazione ${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$ che trasla ${\displaystyle x=x(t)}$ di un fattore ${\displaystyle r}$. Per esempio, se ${\displaystyle r=1}$ l'azione di ${\displaystyle \mathbb {T} _{1}}$ è:

${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}x=x(t+1)=\,\!\delta (t+1)*x(t)\qquad \forall \,t\in \mathbb {R} }$

Se si rappresenta il sistema attraverso un operatore ${\displaystyle \mathbb {H} }$, il sistema è tempo-invariante se ${\displaystyle \mathbb {H} }$ commuta con l'operatore di traslazione:

${\displaystyle \mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} =\mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\qquad \forall r}$

In altri termini, il sistema:

${\displaystyle y=\mathbb {H} x}$

è tempo-invariante se applicando prima ${\displaystyle \mathbb {H} }$ su ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} x=\mathbb {T} _{r}y=y_{r}}$

oppure applicando prima ${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$:

${\displaystyle \mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}x=\mathbb {H} \,x_{r}}$

si ottiene il medesimo risultato:

${\displaystyle \mathbb {H} x_{r}=y_{r}}$

ovvero l'ordine con cui agiscono i due operatori non cambia la loro azione complessiva.

Voci correlate

• Finite impulse response
• Operatore di shift
• Sistema autonomo (matematica)
• Sistema dinamico lineare stazionario

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