Spazio di Besov

In analisi funzionale, uno spazio di Besov ${\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )}$ è uno spazio metrico completo quasinormato che è uno spazio di Banach quando ${\displaystyle 1\leq p}$ e ${\displaystyle q\leq \infty }$. Sotto opportune ipotesi gli spazi di Besov sono equivalenti a spazi di interpolazione intermedi tra spazi di Sobolev.^[1] Nello specifico, sia:

${\displaystyle \Delta _{h}f(x)=f(x-h)-f(x)}$

una differenza finita e si consideri il modulo di continuità:

${\displaystyle \omega _{p}^{2}(f,t)=\sup _{|h|\leq t}\left\|\Delta _{h}^{2}f\right\|_{p}}$

Se n è un numero intero non negativo, definendo ${\displaystyle s=n+\alpha }$ con ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$, lo spazio di Besov ${\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )}$ contiene tutte le funzioni ${\displaystyle f}$ tali che:

${\displaystyle f\in W^{n,p}(\mathbb {R} )\qquad \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2}\left(f^{(n)},t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}<\infty }$

dove ${\displaystyle W^{n,p}(\mathbb {R} )}$ è uno spazio di Sobolev.

Nello spazio di Besov ${\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )}$ è definita la norma:

${\displaystyle \left\|f\right\|_{B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}=\left(\|f\|_{W^{n,p}(\mathbf {R} )}^{q}+\int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2}\left(f^{(n)},t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}}$

Lo spazio ${\displaystyle B_{2,2}^{s}(\mathbb {R} )}$ coincide con il classico spazio di Sobolev ${\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} )}$.

Differenze finite e moduli di continuità

La differenza finita di ordine m e passo h applicata a ${\displaystyle f(x)}$ è definita nel seguente modo:

${\displaystyle \Delta _{h}^{m}f(x)=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{m-k}f(x+kh)}$

Da cui il modulo di continuità di ordine m di ${\displaystyle f}$ in Lp è definito da:

${\displaystyle \omega _{p}^{m}(f,t)=\sup _{|h|\leq t}\|\Delta _{h}^{m}f\|_{p}}$

Siano ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}}$ un dominio, ${\displaystyle s>0}$ e ${\displaystyle p,q\in (0,\infty ]}$. Si ponga inoltre ${\displaystyle m:=[s]+1}$. Lo spazio di Besov:

${\displaystyle B_{p,q}^{s}(\Omega ):=B_{p}^{s,q}(\Omega ):=B_{q}^{s}(L^{p}(\Omega ))}$

è l'insieme delle funzioni in ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$ tali che la quasi-seminorma:

${\displaystyle |f|_{B_{q}^{s}(L^{p}(\Omega ))}={\begin{cases}\left(\int _{0}^{\infty }[t^{-s}\omega _{p}^{m}(f,t)]^{q}{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}\quad &0<q<\infty \\\sup _{t\in (0,\infty )}t^{-s}\omega _{p}^{m}(f,t)&q=\infty \end{cases}}}$

è finita. In simboli:

${\displaystyle B_{q}^{s}(L^{p}(\Omega )):=\{f\in L^{p}{\mbox{ t.c. }}|f|_{B_{q}^{s}(L^{p}(\Omega ))}<\infty \}}$

Norma

Questo spazio è munito della norma:

${\displaystyle \|f\|_{B_{q}^{s}(L^{p}(\Omega ))}=\|f\|_{L^{p}}+|f|_{B_{q}^{s}(L^{p}(\Omega ))}}$

Inclusioni

Fra gli spazi di Besov valgono le seguenti inclusioni:

${\displaystyle B_{q_{1}}^{s}(L^{p}(\Omega ))\subset B_{q_{2}}^{s}(L^{p}(\Omega ))\qquad q_{1}<q_{2}}$

Per quanto riguarda ${\displaystyle B_{\infty }^{1}}$, talvolta detto spazio di Zygmund (${\displaystyle B_{\infty }^{1}({\mathcal {C}})}$)^[2], si hanno le seguenti inclusioni:

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0,1}({\overline {\Omega }})\subset B_{\infty }^{1}({\mathcal {C}}^{0}({\overline {\Omega }}))}$
• ${\displaystyle W^{1}(L^{p}(\Omega ))\subseteq B_{\infty }^{1}(L^{p}(\Omega )),}$ dove l'uguaglianza vale per ${\displaystyle p=2}$.

Interpolazione

Siano ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}}$ un dominio lipschitziano, ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ e ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$. Allora il funzionale di Peetre K è equivalente a meno di costanti al modulo di continuità di ordine m di ${\displaystyle f}$ in Lp:

${\displaystyle K(f,t^{m};L^{p}(\Omega ),W^{m}(L^{p}(\Omega )))\approx \omega _{p}^{m}(f,t)}$

Quindi gli spazi che interpolano ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$ e ${\displaystyle W^{m}(L^{p}(\Omega ))}$ sono spazi di Besov:

${\displaystyle (L^{p}(\Omega ),W^{m}(L^{p}(\Omega )))_{\theta ,q}=B_{q}^{\theta m}(L^{p}(\Omega ))\qquad \forall \,\theta \in (0,1)\quad \forall \,q\in (0,\infty ]}$

Note

1. (EN) Eric W. Weisstein, Spazio di Besov, in MathWorld, Wolfram Research.
2. DeVore, R. "Nonlinear Approximation", Acta Numerica (1998), pag. 92.

Bibliografia

• (EN) Bergh, J. and Löfström, J. Interpolation Spaces. New York: Springer-Verlag, 1976.
• (EN) Peetre, J. New Thoughts on Besov Spaces. Durham, NC: Duke University Press, 1976.
• (EN) Petrushev, P. P. and Popov, V. A. "Besov Spaces." §7.2 in Rational Approximation of Real Functions. New York: Cambridge University Press, pp. 201-203, 1987.
• (EN) Triebel, H. Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators. New York: Wiley, 1998.

Voci correlate

• Differenza finita
• Modulo di continuità
• Spazio di Sobolev

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