Teorema della categoria di Baire

In matematica, il teorema della categoria di Baire è un importante strumento della topologia generale e dell'analisi funzionale. Il teorema è disponibile in due versioni, ciascuna delle quali fornisce una condizione sufficiente affinché uno spazio topologico sia uno spazio di Baire.

Si deve al matematico francese René-Louis Baire, che lo dimostrò nella sua tesi di laurea nel 1899, Sur les fonctions de variable réelles.

Enunciato del teorema

Vi sono due versioni del teorema. La prima riguarda gli spazi metrici:

TCB1 Ogni spazio metrico completo non vuoto è uno spazio di Baire. Più in generale, ogni sottoinsieme aperto di uno spazio pseudometrico completo è uno spazio di Baire.

La seconda riguarda gli spazi di Hausdorff:

TCB2 Ogni spazio di Hausdorff non vuoto e localmente compatto è uno spazio di Baire.

Nessuna delle due proposizioni implica l'altra poiché non necessariamente uno spazio metrico completo è localmente compatto (un esempio è un qualunque spazio di Hilbert di dimensione infinita) così come uno spazio di Hausdorff localmente compatto non è necessariamente metrizzabile (vedi lo spazio di Fort, non numerabile).

Un sottoinsieme di uno spazio metrico è mai denso se la sua chiusura ha parte interna vuota. Il teorema di Baire per gli spazi metrici può essere formulato nel modo seguente:

TCB3 Uno spazio metrico completo non può essere unione numerabile di insiemi mai densi.

La seguente versione è molto utilizzata come teorema di esistenza.

TCB4 In uno spazio metrico completo l'intersezione numerabile di aperti densi è densa.

Dimostrazione

Si fornisce la dimostrazione del teorema nella forma TCB3. Sia ${\displaystyle (X,d)}$ uno spazio metrico completo e si supponga, per assurdo, che:

${\displaystyle X=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$

dove la chiusura ${\displaystyle {\overline {A_{n}}}}$ ha parte interna vuota per ogni ${\displaystyle n}$.

Si scelgano ${\displaystyle x_{1}}$ in ${\displaystyle X}$ ed ${\displaystyle 0<r<1}$ tali che:

${\displaystyle B(x_{1},r_{1})\cap A_{1}=\emptyset }$

Ciò è possibile perché la chiusura di ${\displaystyle A_{1}}$ ha parte interna vuota. Indicando con ${\displaystyle B(x,r)}$ la palla aperta in ${\displaystyle X}$ di centro ${\displaystyle x}$ e raggio ${\displaystyle r}$, è possibile scegliere ${\displaystyle x_{2}}$ in ${\displaystyle B(x_{1},r_{1})}$ e ${\displaystyle 0<r_{2}<1/2}$ tali che:

${\displaystyle {\overline {B(x_{2},r_{2})}}\subseteq B(x_{1},r_{1})\qquad B(x_{2},r_{2})\cap A_{2}=\emptyset }$

ciò che è possibile perché la chiusura di ${\displaystyle A_{2}}$ ha parte interna vuota. Iterando il procedimento si costruiscono, quindi, due successioni, ${\displaystyle (x_{n})}$ in ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle (r_{n})}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tali che:

${\displaystyle 0<r_{n}<{\frac {1}{2^{n-1}}}\qquad {\overline {B(x_{n},r_{n})}}\subseteq B(x_{n-1},r_{n-1})\qquad B(x_{n},r_{n})\cap A_{n}=\emptyset \ \forall n\in \mathbb {N} }$

ne segue che, per ogni ${\displaystyle n,m}$ naturali con ${\displaystyle n,m>N}$, risulta:

${\displaystyle d(x_{n},x_{m})\leq {\frac {1}{2^{N-1}}}}$

e, pertanto, la successione ${\displaystyle (x_{n})}$ è di Cauchy e quindi convergente ad un certo ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$. D'altronde, ${\displaystyle x}$ non è in ${\displaystyle A_{n}}$ per ogni ${\displaystyle n}$ e, pertanto,

${\displaystyle x\notin \cup _{n=1}^{\infty }A_{n}=X}$

il che è assurdo, il che dimostra la tesi.

Relazione con l'assioma della scelta

Le dimostrazioni di entrambe le versioni richiedono una forma debole dell'assioma della scelta; infatti, la proposizione che ogni spazio pseudometrico completo è uno spazio di Baire è un'affermazione equivalente all'assioma della scelta dipendente (DC).^[1]

Applicazioni del teorema

TCB1 è utilizzato nelle dimostrazioni del teorema della funzione aperta, del teorema del grafico chiuso e del principio dell'uniforme limitatezza.

TCB1 mostra inoltre che ogni spazio metrico completo privo di punti isolati è non numerabile (se ${\displaystyle X}$ è uno spazio metrico completo numerabile privo di punti isolati, allora ogni insieme ${\displaystyle \{x\}}$ formato da un punto in ${\displaystyle X}$ è mai denso e pertanto ${\displaystyle X}$ stesso è di prima categoria). In particolare, ciò mostra che l'insieme di tutti i numeri reali è non numerabile.

TCB1 mostra che ciascuno dei seguenti insiemi è uno spazio di Baire:

• L'insieme ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dei numeri reali
• L'insieme di Cantor
• Ogni varietà (in quanto insiemi localmente compatti)
• Ogni spazio topologico omeomorfo ad uno spazio di Baire (per esempio, l'insieme dei numeri irrazionali che non è completo rispetto alla metrica ereditata da ${\displaystyle \mathbb {R} }$)

Vi sono anche altre applicazioni importanti di TCB1.^[2]

Note

1. http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/excerpts/equivdc.gif
2. Applicazioni e relazioni con fenomeni simili sono riportate in Bwatabaire Archiviato il 7 febbraio 2006 in Internet Archive. (il sito è quasi interamente in francese; alcune pagine sono in inglese).

Bibliografia

• R. Baire. Sur les fonctions de variables réelles. Ann. di Mat., 3:1–123, 1899.
• Blair, Charles E. (1977), "The Baire category theorem implies the principle of dependent choices.", Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys., v. 25 n. 10, pp. 933–934.
• Levy, Azriel (1979), Basic Set Theory. Reprinted by Dover, 2002. ISBN 0-486-42079-5
• Schechter, Eric, Handbook of Analysis and its Foundations, Academic Press, ISBN 0-126-22760-8
• Lynn Arthur Steen e J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Springer-Verlag, New York, 1978. Ristampato da Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).

Voci correlate

• Insieme denso
• Principio dell'uniforme limitatezza
• Spazio completo
• Spazio di Baire
• Spazio pseudometrico
• Spazio di Hausdorff
• Spazio localmente compatto
• Teorema della funzione aperta (analisi funzionale)
• Teorema del grafico chiuso

Collegamenti esterni

• (EN) P.S. Aleksandrov, Baire theorem, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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