Teorema di Cheeger-Gromoll
Il teorema di Cheeger-Gromoll, o Teorema dell'anima, è un teorema di Geometria riemanniana che in larga misura riconduce lo studio delle varietà geometriche complete di curvatura sezionale non negative al caso delle varietà compatte (chiuse e finite). Jeff Cheeger e Detlef Gromoll dimostrarono il teorema nel 1972 generalizzando un risultato ottenuto nel 1969 dallo stesso Gromoll e da Wolfgang Meyer. La correlata congettura dell'anima fu formulata da Gromoll e Cheeger nel 1972, e dimostrata da Grigorij Jakovlevič Perel'man nel 1994 in un modo sorprendente e conciso.
Il teorema dell'anima asserisce che
- Se (M,g) è una varietà riemanniana connessa e completa con curvatura sezionale K ≥ 0, allora esiste una sottovarietà compatta, totalmente geodetica e convessa S tale che M è diffeomorfa al limite normale di S.
La sottovarietà S è detta anima di (M, g).
L'anima S non è in generale identificata univocamente da (M, g), ma due anime qualsiasi sono isometriche, come ha dimostrato Sharafutdinov nel 1979, usando la retrazione di Sharafutdinov.
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]Ogni varietà compatta possiede una propria anima. Tuttavia, spesso il teorema è usato solo per varietà non compatte.
Come esempio semplice, si prenda M coincidente con lo spazio euclideo Rn, allora la sua curvatura sezionale è 0 e un punto qualsiasi di M può essere usato come anima di M.
Si consideri ora il paraboloide M = {(x, y, z) : z = x2 + y2}, in cui la metrica g è la distanza euclidea ordinaria che si genera dall'immersione dei M in uno spazio euclideo R3. La curvatura sezionale è ovunque positiva. L'origine (0, 0, 0) è un'anima di M. Non tutti i punti x di M sono un'anima di M, dal momento che possiamo avere dei loop geodesici basati su x.
Esaminiamo ora un cilindro infinito M = {(x, y, z) : x2 + y2 = 1}, di nuovo insieme alla metrica euclidea indotta. La curvatura sezionale è ovunque nulla. Ogni circonferenza "orizzontale" {(x, y, z) : x2 + y2 = 1} con z fissato è un'anima di M.
Congettura dell'anima
[modifica | modifica wikitesto]La congettura dell'anima, formulata da Cheeger e Gromoll, asserisce che:
- Sia S completo, connesso e non compatto con curvatura sezionale K≥0; supponiamo che esista un punto in M in cui la curvatura sezionale (lungo tutte le direzioni sezionali) è strettamente positiva. Allora l'anima di M è un punto; oppure, in termini equivalenti, M è diffeomorfa a Rn.
Perel'man ha dimostrato questa congettura stabilendo che nel caso generale K ≥ 0, la retrazione di Sharafutdinov P : M → S è una sommersione, ovvero una funzione differenziabile tra varietà differenziabili il cui differenziale è ovunque suriettivo.
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- Jianguo Cao e Mei-Chi Shaw, A new proof of the Cheeger-Gromoll soul conjecture and the Takeuchi theorem (PDF), su www3.nd.edu. URL consultato il 22 gennaio 2018 (archiviato dall'url originale il 20 febbraio 2004).
- Jeff Cheeger e Detlef Gromoll, On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature, in Annals of Mathematics. Second Series, vol. 96, 1972, pp. 413–443, DOI:10.2307/1970819, ISSN 0003-486X, MR 0309010.
- Detlef Gromoll e Wolfgang Meyer, On complete open manifolds of positive curvature, in Annals of Mathematics. Second Series, vol. 90, 1969, pp. 75–90, DOI:10.2307/1970682, ISSN 0003-486X, MR 0247590.
- Grigori Perelman, Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll (PDF), in Journal of Differential Geometry, vol. 40, n. 1, 1994, pp. 209–212, ISSN 0022-040X, MR 1285534, Zbl 0818.53056 (archiviato dall'url originale il 23 luglio 2011).
- V. A. Sharafutdinov, Convex sets in a manifold of nonnegative curvature, in Mathematical Notes, vol. 26, n. 1, 1979, pp. 556–560, DOI:10.1007/BF01140282.
