Varietà di Seifert

In matematica, una varietà di Seifert è una 3-varietà che ha una decomposizione in circonferenze simile a quella che risulta da una fibrazione, come ad esempio la fibrazione di Hopf per la sfera ${\displaystyle \scriptstyle {S^{3}}}$. Le varietà di Seifert furono introdotte e classificate da Herbert Seifert nel 1933. Negli anni ottanta le varietà di Seifert sono state reinterpretate in un'ottica più geometrica: queste rappresentano infatti esattamente 6 delle 8 geometrie tridimensionali prescritte dalla congettura di geometrizzazione di Thurston.

Definizione

In questo esempio ${\displaystyle \scriptstyle {(p,q)=(5,2)}}$.

Un toro fibrato standard è la descrizione di un toro solido come unione di circonferenze. Dipende da due interi coprimi ${\displaystyle \scriptstyle {(p,q})}$. Si ottiene dalla fibrazione standard in segmenti del cilindro

${\displaystyle C=D^{2}\times [-1,1]\,\!}$

(dove i segmenti sono i sottoinsiemi del tipo ${\displaystyle \scriptstyle {\{x\}\times [-1,1]}}$) identificando le pareti orizzontali tramite una mappa

${\displaystyle \phi :D^{2}\times \{-1\}\to D^{2}\times \{1\}\,\!}$

che ruota il disco di un angolo ${\displaystyle \scriptstyle {2\pi q/p}}$.

Le circonferenze sono dette fibre. La fibra centrale è quella corrispondente a ${\displaystyle \scriptstyle {\{0\}\times [-1,1]}}$. Se ${\displaystyle \scriptstyle {p=\pm 1}}$, la fibra centrale è detta ordinaria, altrimenti è detta eccezionale.

Una varietà di Seifert è una 3-varietà compatta che si decompone in circonferenze (le fibre), tale che ogni circonferenza abbia un intorno tubolare omeomorfo al toro fibrato standard.

Bibliografia

• (DE) Herbert Seifert, Topologie dreidimensionalen gefaserter Räume, Acta Math. 60 (1933) 147-238 (Esiste una traduzione in inglese di W. Heil del 1976)
• (EN) P. Orlik Seifert manifolds, Lecture notes in mathematics 291, Springer (1972).
• (EN) F. Raymond Classification of the actions of the circle on 3-manifolds, Trans. Amer.Math. Soc 31, (1968) 51-87.
• (EN) W. Jaco, Lectures on 3-manifold topology ISBN 0-8218-1693-4
• (EN) W. H. Jaco, P. B. Shalen Seifert Fibered Spaces in Three Manifolds: Memoirs Series No. 220 (Memoirs of the American Mathematical Society; v. 21, no. 220) ISBN 0-8218-2220-9
• (EN) Hempel, 3-manifolds, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3695-1
• (EN) Scott, Peter The geometries of 3-manifolds. (errata) Bull. London Math. Soc. 15 (1983), no. 5, 401-487.
• (EN) A.V. Chernavskii, Seifert fibration, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

Voci correlate

• 3-varietà
• 3-varietà prima
• Decomposizione JSJ
• Congettura di geometrizzazione di Thurston

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