アルティン・シュライアー理論

数学において、アルティン・シュライアー理論 (Artin–Schreier theory) は、標数 p の体の p 次ガロワ拡大の記述を与える。従ってそれはクンマー理論では記述できない場合を扱う。

アルティン・シュライアー拡大

K を標数 p の体とし、a をこの体のある元とする。多項式 X^p − X + a の分解体への K の拡大をアルティン・シュライアー拡大と呼ぶ。b がこの多項式の 1 つの根であれば、0 から p − 1 までの i に対して b + i がその多項式の全ての根であり（cf. フロベニウス準同型）、それらは相異なる。すると 2 つの場合があり得る。

• 根の 1 つが K に属していれば、すべての根は K に属しており、多項式は K 上既に分解している。
• そうでないとき、つまり根の 1 つが K に属していなければ、どの根も K に属していない、言い換えると a は x ∈ K に対して x − x^p の形ではない。このとき多項式 X^p − X + a は K 上既約である。その分解体（および根体） K[b] は K の p 次巡回拡大であり、拡大のガロワ群の生成元（の 1 つ）は ${\displaystyle b\mapsto b+1}$ によって定義される写像によって与えられる。

実際 2 つ目の場合には、X^p − X + a の分解体は K 上 b で拡大され、多項式の p 個の根 b + i は K[b] に属しており相異なる。すると K のこの拡大は分離拡大であり従ってガロワ拡大である。ガロワ群が p 個の射からなり 0 ≤ i ≤ p − 1 に対して ${\displaystyle b\mapsto b+i}$ によって定義されることを証明するには、多項式が既約であること、従って K[b] がその根体であることを示せば十分である。

もし K[X] の次数 0 < d < p の多項式が X^p − X + a を割れば、それは K[b] において単項式 (X − b − i) の積であり、X^{d − 1} の係数は、K の元で、従って j ∈ K で −db − j の形で、d は K において 0 でなく、これは b が K に属していないから不可能である。よって多項式は既約である^[1]。

例えば、2 つの元を持った有限体は 4 つの元からなる有限体をアルティン・シュライアー拡大として持ち、これは多項式 X² − X + 1 = X² + X + 1 によって拡大されたものである。

アルティン・シュライアー理論

アルティン・シュライアー理論は上の事実の逆をいうものである。標数 p の体の p 次巡回拡大はすべてアルティン・シュライアー拡大である。これは例えばヒルベルトの定理90の加法版を使って証明される^[1]。

p 次非ガロワ拡大はこの理論によって記述することはできない。例えば、p 個の元を持った素体上の一変数関数体 F_p(T) において不定元 T の p 乗根（つまり不定元 X の多項式 X^p − T の根、これは非分離である）を添加して得られる拡大。

従って冪根による分解の理論の標数 p の類似理論はアルティン・シュライアー拡大を認めなければならない。拡大次数が標数の冪の拡大を得るにはヴィットベクトル（フランス語版）の理論を使う。

歴史的コメント

アルティン・シュライアー型の多項式は1866年に出版された Joseph-Alfred Serret（フランス語版） の Cours d'algèbre supérieure の第三版の有限体についての章において既に見つかる^[2]。セレは整数 g が素数 p で割れなければ多項式 X^p − X − g は mod p で既約であること、現代的な言葉で言えば、すべての g ∈ F_p^* に対して X^p − X − g は既約であること、を証明している^[3]。この結果は上のことから標数 p の体を F_p として証明できる。

脚注

1. ^ Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], § VI.6 de l'édition Springer, § VIII.6 de l'édition Addison-Wesley.
2. Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013). Handbook of Finite Fields. Discrete Mathematics and its Applications. Boca Raton: CRC Press. ISBN 978-1-4398-7378-6  p 9.
3. Joseph-Alfred Serret, Cours d'algèbre supérieure, vol. 2,‎ 1866, 3^e éd. (lire en ligne), SECTION III, chapitre 3, § 360 p 162.