CW複体

位相幾何学において、CW複体（CWふくたい）とは、ホモトピー理論の要請を満たすためにJ. H. C. Whiteheadによって導入された位相空間の一種である。この空間は、単体複体よりも広義の概念であり、いくつかの優れた圏論的特性を備える一方、特に非常に小さい複体における計算で役立つ連結性を有する。

構成

CW複体は胞体 (cell)と呼ばれる基本要素で構成され、より厳密には、胞体がどのようにトポロジー的に張り合わせられるかを規定する。CW複体のCは「閉包有限性」(closure finite)^[1]を表し、Wは「弱い位相」(weak topology)を表す。

${\displaystyle n}$ 次元の閉胞体とは、${\displaystyle n}$ 次元ユークリッド空間上の閉球体 ${\displaystyle D^{n}}$ に同相な空間を指す。一例として、${\displaystyle n}$ 次元空間における単体 (三次元空間なら四面体)は閉胞体であり、より一般的に言えば、凸超多面体が閉胞体に対応する。一方で、${\displaystyle n}$ 次元の開胞体は、 ${\displaystyle D^{n}}$ の内部に同相な空間を指す。なお、0次元の開（および閉）胞体は、一点空間と定める。

CW複体は、ハウスドルフ空間 ${\displaystyle X}$ と、次の2つの性質を満たす開胞体への分割 ${\displaystyle \{e_{\alpha }^{k}\}}$ を指す。

• 各開胞体 ${\displaystyle e_{\alpha }^{n}}$ に対して、 ${\displaystyle n}$ 次元の閉球体からの連続写像 ${\displaystyle f:D^{n}\to X}$ が存在し、以下の2つの条件を満たす。
  • ${\displaystyle f}$ の定義域を ${\displaystyle D^{n}}$ の内部に制限した時、これは ${\displaystyle e_{\alpha }^{n}}$ への同相写像である。
  • ${\displaystyle D^{n}}$ の境界 ${\displaystyle \partial D^{n}}$ は、 ${\displaystyle \{e_{\alpha }^{k}\}}$ に含まれる有限個の胞体の合併へと写され、この有限個の胞体の次元がいずれも ${\displaystyle n}$ 以下である (この条件が閉包有限性に対応する)。
• ${\displaystyle X}$ の部分集合 ${\displaystyle A}$ に対し、${\displaystyle X}$ に含まれる任意の胞体の閉包と ${\displaystyle A}$ との交叉 ${\displaystyle {\bar {e}}_{\alpha }^{n}\cap A}$ が ${\displaystyle {\bar {e}}_{\alpha }^{n}}$ における閉集合となる場合、かつその場合に限り、 ${\displaystyle A}$ が閉集合になる (この条件が弱い位相に対応する)。

正則CW複体

とあるn次元の閉球体からCW複体全体への連続写像について、その写像の値域をXの分割に含まれる各開胞体Cの閉包に限定すると、その写像fが同型写像となる場合、このCW複体を正則であるという。

相対CW複体

CW複体の定義ではXの分割に現れるXの部分集合は全て胞体でなければならず、すなわち、各部分集合はとあるn次元空間上の開球体と同相でなければならなかった。これに対して、相対CW複体では、Xの分割に現れる部分集合のうち1つだけは胞体の性質を保つ必要がなく、この胞体の性質を持たない部分集合を特に-1次元の胞体として取り扱う。^[1][2][3][4]

例

• 実数の標準CW構造 として、0スケルトンの整数${\displaystyle \mathbb {Z} }$ がある。そして1セルとして区間${\displaystyle \{[n,n+1]:n\in \mathbb {Z} \}}$ がある。同様に、上の標準CW構造${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ からの0セルと1セルの積である立方体セル${\displaystyle \mathbb {R} }$ がある。さらに、標準の立方格子 セル${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ がる。
• 多面体 はCW複体。
• グラフは1次元のCW複体。三価グラフは、一般的な 1次元CW複体と見なすことができる。具体的には、X が1次元のCW複体である場合、1セルの添字写像は2点空間からX への写像${\displaystyle f:\{0,1\}\to X}$ 、この写像はXを 0スケルトンから切り離す。${\displaystyle f(0)}$そして${\displaystyle f(1)}$ Xの 0価は頂点。
• 無限次元ヒルベルト空間 はCW複体でない。これはベール空間であるため、n個の スケルトンの可算結合として記述できない。それぞれのスケルトンは空の内部を持つ閉集合。この議論は、他の多くの無限次元空間に及ぶ。
• 一般的な2次元CW複体の射影。^[5]
• n次元球 は、2つのセル（1つの0セルと1つのnセル）を持つCW構造を受け入れる。
• n次元の実射影空間 は、各次元に1つのセルを持つCW構造を許可する。
• グラスマン多様体は、シューベルトセル と呼ばれるCW構造を認める。
• 微分可能多様体、代数および射影多様体 には、ホモトピー型のCW複体がある。
• カスプ双曲多様体の1点コンパクト化には、Epstein-Penner分解 と呼ばれる0セル（コンパクト化ポイント）が1つしかない正準CW分解がある。

出典

1. ^ “近代ホモトピー論（1940年代から1960年代まで）”. 2020年5月30日閲覧。
2. Davis, James F.; Kirk, Paul (2001). Lecture Notes in Algebraic Topology. Providence, R.I.: American Mathematical Society 
3. https://ncatlab.org/nlab/show/CW+complex
4. https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/CW-complex
5. Turaev, V. G. (1994), "Quantum invariants of knots and 3-manifolds", De Gruyter Studies in Mathematics (Berlin: Walter de Gruyter & Co.) 18