アポロニウスの円。AP:BPが一定になるようにPを動かすと軌跡は円を描く。
アポロニウスの円(アポロニウスのえん)は、2定点A・Bをとり、点PをAP:BPが一定となるように(但しAP≠BP)したときの点Pの軌跡である。ペルガのアポロニウスの名前を残すが、起源はより古いと思われる。例えば、既にアリストテレス『気象論』第三巻で虹の形状を論じるのに用いられている。
点PをAP:BPが一定となるようにしたときの点Pの軌跡のうち、線分ABの上の点をQ、ABの延長線上の点をRとすると、
- AQ:QB=AP:PB
- AR:RB=AP:PB
内角と外角の二等分線の関係の逆より、PQとPRはそれぞれ∠APBの内角と外角の二等分線である。
よって、∠QPR=90°
ゆえに、点Pの軌跡は線分QRを直径とする円である。
m, n を互いに異なる正の実数とする。線分ABを m : n に内分する点を Q、外分する点をRとすると、

このとき、








したがって、点Pの軌跡は線分QRを直径とする円になる。
線分QRの中点をOとすると、

したがって、





これより、点Pの軌跡は線分QRの中点Oを中心とする半径
の円、すなわち線分QRを直径とする円になる。
線分QRの中点をOとすると、点Oはアポロニウスの円の中心となり、

すなわち、点Oは線分ABを
に外分する点になる。
アポロニウスの円の半径を r とする。ここで平方完成

定義より、

したがって、

アポロニウスの問題に対する解はアポロニウスの円とも呼ばれる。