コルモゴロフの拡張定理

数学の測度論におけるコルモゴロフの拡張定理（コルモゴロフのかくちょうていり、英: Kolmogorov extension theorem）とは、全ての自然数n に対して、n次元ユークリッド空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ のボレル集合体 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$ 上の測度 ${\displaystyle m_{n}}$ が定義され、その測度列 ${\displaystyle (m_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ が両立条件を満たしている（順に拡張されている）ならば、測度 ${\displaystyle m_{n}}$ は可算無限直積 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ 上に一意に拡張できることを述べた定理である。

つまり、自然数n に対して

測度空間 ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),m_{n})}$

（${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ は実数全体からなる集合 n個の直積、${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ はボレル集合体、${\displaystyle m_{n}:{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow [0,\infty ]}$ は測度）

が定義され、両立条件：

${\displaystyle m_{n}(A)=m_{n+k}(A\times \mathbb {R} ^{k})\quad (A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),k\in \mathbb {N} )}$

を満たしているとき、ある測度 ${\displaystyle m:{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{\infty })\rightarrow [0,\infty ]}$ で、

${\displaystyle m(A\times \mathbb {R} ^{\infty })=m_{n}(A)\quad (A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))}$

を満たすものが一意に存在する。ここで、${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ を ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ に埋め込んだ集合 ${\displaystyle A\times \mathbb {R} ^{\infty }\subset \mathbb {R} ^{\infty }}$ を A の筒集合（柱状集合、英: cylinder set）という。

ロシア（ソビエト）の数学者アンドレイ・コルモゴロフの名に因む^[1]。

本定理により、コイントスやさいころを何回も投げるといった反復試行の確率を、無限回の操作に対しても考えることができる。

脚注

1. 確率測度の拡張 Mathematical Finance

関連項目

• カラテオドリの拡張定理
• ホップの拡張定理
• 前測度