スラッシュ分布

スラッシュ

確率密度関数
累積分布関数
台	${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}$
確率密度関数	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\varphi (0)-\varphi (x)}{x^{2}}}&x\neq 0\\{\frac {1}{2{\sqrt {2\pi }}}}&x=0\\\end{cases}}}$
累積分布関数	${\displaystyle {\begin{cases}\Phi (x)-\left[\varphi (0)-\varphi (x)\right]/x&x\neq 0\\1/2&x=0\\\end{cases}}}$
期待値	存在しない
中央値	0
最頻値	0
分散	存在しない
歪度	存在しない
尖度	存在しない
モーメント母関数	存在しない
特性関数	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\Big (}\varphi (t)+t\Phi (t)-\max\{t,0\}{\Big )}}$
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確率論におけるスラッシュ分布（スラッシュぶんぷ、英: slash distribution）は、標準正規分布に従う確率変数を、それとは独立に一様分布に従う確率変数で割った商が従う確率分布である^[1]。言い換えると、確率変数 Z が平均0、分散1の正規分布に従い、確率変数 U が [0,1] 上の一様分布に従い、Z と U が独立であるとき、X = Z / U はスラッシュ分布に従う。スラッシュ分布は 比分布（英語版）の一例である。この分布はウィリアム・H・ロジャースとジョン・テューキーの1972年の論文において命名された^[2]。

確率密度関数f(x)は

${\displaystyle f(x)={\frac {\varphi (0)-\varphi (x)}{x^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {1-\exp(-x^{2}/2)}{x^{2}}}}$

ここで φ(x) は標準正規分布の確率密度関数である^[3]。 特異点 x = 0 は除去可能である：

${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)={\frac {\varphi (0)}{2}}={\frac {1}{2{\sqrt {2\pi }}}}}$

累積分布関数F(x)は

${\displaystyle F(x)=\Phi (x)-{\frac {\varphi (0)-\varphi (x)}{x}}={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} (-x/{\sqrt {2}})-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {1-\exp(-x^{2}/2)}{x}}}$

ここでΦ(x)は標準正規分布の累積分布関数、erfcは相補誤差関数である。確率密度関数と同様に特異点 x = 0 は除去可能である：

${\displaystyle F(0)={\frac {1}{2}}}$

スラッシュ分布の期待値や分散、モーメントは存在しない。

スラッシュ分布の最もありふれた使途はシミュレーションの研究におけるものである。この分布は正規分布よりは裾が重く、コーシー分布ほどは病的でないという点で便利である^[3]。

脚注

1. Davison, Anthony Christopher; Hinkley, D. V. (1997). Bootstrap methods and their application. Cambridge University Press. p. 484. ISBN 978-0-521-57471-6. http://www.cambridge.org/us/knowledge/isbn/item1154176/?site_locale=en_US 24 September 2012閲覧。 
2. Rogers, W. H.; Tukey, J. W. (1972). “Understanding some long-tailed symmetrical distributions”. Statistica Neerlandica 26 (3): 211–226. doi:10.1111/j.1467-9574.1972.tb00191.x. 
3. ^ “SLAPDF”. Statistical Engineering Division, National Institute of Science and Technology. 2009年7月2日閲覧。

 この記事にはパブリックドメインである、アメリカ合衆国連邦政府が作成した次の文書本文を含む。アメリカ国立標準技術研究所.