ティンカーベル写像

ティンカーベル写像（ティンカーベルしゃぞう、Tinkerbell map）とは、2次元の離散力学系の一種。軌道がきれいなストレンジアトラクターを描くことで知られている^[1]。

ティンカーベル写像は、次の2変数連立差分方程式（漸化式）で与えられる^[2]。

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}^{2}-y_{n}^{2}+ax_{n}+by_{n}\,}$

${\displaystyle y_{n+1}=2x_{n}y_{n}+cx_{n}+dy_{n}\,}$

ここで、a, b, c, d は定数である。

特に a = 0.9, b = −0.6013, c = 2, d = 0.5 のとき、ティンカーベル写像はストレンジアトラクターとなり、これらの値がティンカーベル写像の標準的なパラメータとして知られている^[1]。数値計算により、このストレンジアトラクターのリアプノフ次元は約 1.40 であることが求められている^[3]。

このアトラクターの形状から童話『ピーター・パン』に登場する妖精ティンカー・ベルの名を取り、キャスリーン・アリグッド (Kathleen T. Alligood) らによってティンカーベル写像と名付けられた^[2]。

a = 0.9, b = −0.6013, c = 2, d = 0.5 のときに現れるティンカーベル写像のストレンジアトラクター。横軸が x_n、縦軸が y_n。

出典

1. ^ Alexandre Goldsztejn; Wayne Hayes; Pieter Collins (2007). “Tinkerbell Is Chaotic”. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems (Society for Industrial and Applied Mathematics) 10 (4): 1480, 1499. doi:10.1137/100819011. 
2. ^ K.T.アリグッド・T.D.サウアー・J.A.ヨーク、津田一郎（監訳）、星野 高志・阿部 巨仁・黒田 拓・松本 和宏（訳）、2006、『カオス　第2巻　力学系入門』、丸善出版 ISBN 4-431-71237-2 pp. 7, 11
3. デニー・グーリック、前田 恵一・原山 卓久（訳）、1995、『カオスとの遭遇―力学系への数学的アプローチ』初版、産業図書 ISBN 4-7828-1009-1 p. 182

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズには、ティンカーベル写像に関するカテゴリがあります。