バローの不等式

バローの不等式（-ふとうしき、英: Barrow's inequality）は、幾何学において三角形の頂点との距離と、角の二等分線の長さに関する不等式である。 デヴィッド・フランシス・バロー（英語版）に因んで名付けられた。

主張

△ABCの内部の任意の点Pについて、それぞれ∠BPC,∠CPA,∠APBの二等分線とBC,CA,ABの交点をU,V,Wとする。バローの不等式は次の式である^[1]。

${\displaystyle PA+PB+PC\geq 2(PU+PV+PW),\,}$

等号成立条件は△ABCが正三角形でPがその中心であること^[1]。

一般化

バローの不等式は任意の凸多角形に一般化できる。n角形${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$の内部の点${\displaystyle P}$について${\displaystyle \angle A_{1}PA_{2},\ldots ,\angle A_{n-1}PA_{n},\angle A_{n}PA_{1}}$の二等分線と辺${\displaystyle A_{1}A_{2},\ldots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{1}}$の交点をそれぞれ${\displaystyle Q_{1},Q_{2},\ldots ,Q_{n}}$とする。このとき次の不等式が成り立つ^[2][3]。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|PA_{k}|\geq \sec \left({\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{k=1}^{n}|PQ_{k}|}$

${\displaystyle \sec(x)}$ は正割関数である。${\displaystyle n=3}$のとき${\displaystyle \sec \left({\tfrac {\pi }{3}}\right)=2}$となって、バローの不等式を得る。

歴史

バローの不等式とエルデシュ・モーデルの不等式

${\displaystyle {\begin{aligned}&\quad \,|PA|+|PB|+|PC|\\&\geq 2(|PQ_{a}|+|PQ_{b}|+|PQ_{c}|)\\&\geq 2(|PF_{a}|+|PF_{b}|+|PF_{c}|)\end{aligned}}}$

バローの不等式はエルデシュ・モーデルの不等式より強力な不等式である。バローの不等式は1937年、デヴィッド・フランシス・バロー（英語版）が The American Mathematical Monthly（英語版）に投稿したエルデシュ・モーデルの不等式の証明を初出とする^[1]。1961年より以前に "Barrow's inequality"の名が使われ始めている^[4]。

より単純な証明はルイス・モーデルにより発見された^[5]。

関連

• オイラーの定理
• 三角形に関する不等式の一覧

出典

1. ^ Erdős, Paul; Mordell, L. J.; Barrow, David F. (1937), “Solution to problem 3740”, American Mathematical Monthly 44 (4): 252–254, doi:10.2307/2300713, JSTOR 2300713, https://jstor.org/stable/2300713 .
2. M. Dinca: "A Simple Proof of the Erdös-Mordell Inequality". In: Articole si Note Matematice, 2009
3. Hans-Christof Lenhard: "Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone". In: Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung, Band 12, S. 311–314, doi:10.1007/BF01650566 (German).
4. Oppenheim, A. (1961), “New inequalities for a triangle and an internal point”, Annali di Matematica Pura ed Applicata 53: 157–163, doi:10.1007/BF02417793, MR124774 
5. Mordell, L. J. (1962), “On geometric problems of Erdös and Oppenheim”, The Mathematical Gazette 46 (357): 213–215, JSTOR 3614019, https://jstor.org/stable/3614019 .

外部リンク

• Hojoo Lee: Topics in Inequalities - Theorems and Techniques
• “エルデス・モーデルの定理の証明”. 高校数学の美しい物語. 2024年7月25日閲覧。