数学、特に体論において、ヒルベルトの定理90 (Hilbert's Theorem 90) は、体の巡回拡大に関する重要な定理である。
ステートメント[編集]
K/k を n 次巡回拡大で、そのガロワ群を G とし、σ が G を生成するとする。このとき、β∈K に対して、ノルム NK/k(β) が 1 であることと、ある 0≠α∈K が存在して β=α/σα となることは同値である。
加法版[編集]
K/k を n 次巡回拡大で、そのガロワ群を G とし、σ が G を生成するとする。このとき、β∈K に対して、トレース TrK/k(β) が 0 であることと、ある α∈K が存在して β=α−σα となることは同値である。
群コホモロジーを用いた表現[編集]
K/k を有限次ガロワ拡大、G をそのガロワ群とする。このとき
が成り立つ。
K/k を2次拡大 とする。ガロア群は位数2の巡回群であり、生成元 σ は複素共役である。
K の元 はノルム を持つ。 ノルムが1の元は の有理数解,もしくは単位円上の有理数点に対応する。
ヒルベルトの定理90によるとノルムが1の元 y は整数 c と d で次のように表すことができる。
これは単位円上の有理数点のパラメーター付けを表している。
単位円上の有理数点はを満たすピタゴラス数を表す。
関連項目[編集]
参考文献[編集]