フォン・ノイマンの不等式

数学の作用素論の分野において、ジョン・フォン・ノイマンの名にちなむフォン・ノイマンの不等式（フォン・ノイマンのふとうしき、英: von Neumann's inequality）とは、T をあるヒルベルト空間上の縮小（英語版）とし、p をある多項式としたとき、p(T) のノルムは単位円板内の z に対する |p(z)| の上限によって上から評価されることを表す不等式である^[1]。言い換えると、固定された縮小写像 T に対する多項式汎関数計算写像（英語版）は、それ自身が縮小写像となる。この不等式は T のユニタリ伸張を考えることで直ちに証明することが出来る。

この不等式は、次に述べるマツエフの予想の特別な場合である：任意の多項式 P と、${\displaystyle L^{p}}$ 上の任意の縮小写像 T に対して

${\displaystyle \|P(T)\|_{L^{p}}\leq \|P(S)\|_{\ell ^{p}}}$

が成立する（という予想）。ここで S は右シフト作用素である。フォン・ノイマンの不等式によれば ${\displaystyle p=2}$ の場合にこの予想が正しいことが分かる。また ${\displaystyle p=1}$ と ${\displaystyle p=\infty }$ の場合も、直接的な計算により分かる。しかし近年、ドルリーによってこの予想は一般の場合には成立しないことが示された^[2]。

脚注

1. Department of Mathematics, Vanderbilt University Colloquium, AY 2007-2008
2. S.W. Drury, "A counterexample to a conjecture of Matsaev", Linear Algebra and its Applications, Volume 435, Issue 2, 15 July 2011, Pages 323-329