ポーヤの計数定理

組合せ論におけるポーヤの計数定理（ポーヤのけいすうていり、英: Pólya enumeration theorem; 数え上げ定理、枚挙定理）あるいはレッドフィールド–ポーヤの定理 (Redfield–Pólya Theorem) は、集合への群作用の軌道の総数を求めるバーンサイドの補題の極めて一般化するものである。定理が最初に公になるのは1927年のジョン・ハワード・レッドフィールド（英語版）によるものだが^[1]、それとは独立にジョージ・ポリア（ポーヤ）が1937年に再発見し^[2]、ポーヤはその結果を多くの数え上げ問題、特に化合物の枚挙に適用して大いに普及させた。

ポーヤの計数定理は記号的組合せ論（英語版）や組合せ論的種の理論（英語版）に組み込むこともできる。

コーシーフロベニウスの補題（旧称・バーンサイドの補題）

→詳細は「バーンサイドの補題」を参照

{1,2,…,n}上の置換群で、k個の軌道を持つものをGとする。このとき、Gの置換による固定点の個数の平均はkである。 $${\displaystyle {\frac {1}{|G|}}\sum _{\pi \in G}k_{n}(\pi )=k}$$ 上の式では、置換πによる固定点の個数を${\displaystyle k_{n}(\pi )}$で表している。このことは、それぞれの点を動かさないGの要素の個数を数えることで、このことがいえる。

ポリアの定理 I

集合${\displaystyle D_{1}}$上の輪指数${\displaystyle P(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}$を持つ置換群をGとする。D₁からD₂への写像f,gに対して${\displaystyle f(\pi (x))=g(x)}$となる${\displaystyle \pi }$が存在しないとき、fとgは異なるとする。このとき、D1からD2へのことなるものの個数は $${\displaystyle P(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})={\frac {1}{|G|}}\sum _{\pi \in G}|D_{2}|^{k(\pi )}}$$ となる。

ここで、${\displaystyle |D_{1}|=n,|D_{2}|=m}$とすると、${\displaystyle |P(x_{k})|=m^{n}}$となり、 $${\displaystyle P(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})={\frac {1}{|G|}}\sum _{\pi \in G}|D_{2}|^{k(\pi )}={\frac {1}{|G|}}\sum _{\pi \in G}m^{k(\pi )}}$$ である。

例

立方体を2色で彩色するときの仕方の数を数える。

立方体abcd-efghを考える。面abcdを1、面abefを2、面bcfgを3、面adehを4、面cdhgを5、面efghを6と名づける。このとき、${\displaystyle |G|=24}$となり、 $${\displaystyle P(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6})={\frac {1}{24}}(x_{1}^{6}+6x_{1}^{2}x_{4}+6x_{1}^{2}x_{2}^{2}+8x_{3}^{2})}$$ ここで、${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=x_{5}=x_{6}=2}$（2色で塗るため）なので $${\displaystyle P(2,2,2,2,2,2)=10}$$ となる。

ポリアの定理 II

脚注

1. Redfield, J. Howard (1927). “The theory of group-reduced distributions”. American Journal of Mathematics 49: 433–455. doi:10.2307/2370675. MR1506633. 
2. Pólya, G. (1937). “Kombinatorische Anzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen”. Acta Mathematica 68: 145–254. doi:10.1007/BF02546665. MR1577579. （英訳が次の書籍の前半にある： Pólya, G.; Read, R. C. Dorothee, A.訳 (1987). Combinatorial Enumeration of Groups, Graphs, and Chemical Compounds. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96413-4. MR884155. https://books.google.co.jp/books?id=QyjUBwAAQBAJ ）