マクローリンの不等式

マクローリンの不等式（マクローリンのふとうしき、英: Maclaurin's inequality）は 、相加相乗平均の不等式（英語版）を改良した不等式。マクローリンの名をとって命名された。

定義

a₁, a₂, …, a_n を正の実数とし、k = 1, 2, …, n に対して平均 S_k を次で定義する：

${\displaystyle S_{k}={\frac {\textstyle \sum \limits _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}a_{i_{1}}a_{i_{2}}\cdots a_{i_{k}}}{\displaystyle {n \choose k}}}.}$

分子は、n個の変数 a₁, a₂, …, a_n を用いて作られる k次の基本対称式である。つまり変数 a₁, a₂, …, a_n の指数の合計が k であり、変数が添字の昇順に並ぶようなものである。一方、分母は二項係数 ${\displaystyle \scriptstyle {n \choose k}}$ で、各 k に対する分子の基本対称式の項数を表す。

マクローリンの不等式はこの S_k に関するもので、以下の不等式で与えられる：

${\displaystyle S_{1}\geq {\sqrt {S_{2}}}\geq {\sqrt[{3}]{S_{3}}}\geq \cdots \geq {\sqrt[{n}]{S_{n}}}}$

等号が成立するのは、全ての a_i が等しいときで、しかもその時に限る。

例

n = 2 のときには、マクローリンの不等式は2変数に対する相加相乗平均の不等式になる。 マクローリンの不等式が具体的にどのような不等式を与えるかが分かりやすい例として、n = 4 の場合を挙げる:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\quad {\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}}\\[8pt]&\geq {\sqrt {\frac {a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+a_{1}a_{4}+a_{2}a_{3}+a_{2}a_{4}+a_{3}a_{4}}{6}}}\\[8pt]&\geq {\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}a_{2}a_{3}+a_{1}a_{2}a_{4}+a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}a_{4}}{4}}}\\[8pt]&\geq {\sqrt[{4}]{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}}.\end{aligned}}}$

マクローリンの不等式は、ニュートンの不等式を用いて証明することができる。

関連項目

• ムーアヘッドの不等式（英語版）
• 一般化平均の不等式（英語版）

参考文献

• Biler, Piotr; Witkowski, Alfred (1990). Problems in mathematical analysis. New York, N.Y.: M. Dekker. ISBN 0-8247-8312-3 

外部リンク

• 『対称式に関するマクローリンの不等式』 - 高校数学の美しい物語

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