ラプラスの方法

数学においてラプラスの方法（らぷらすのほうほう、英: Laplace's method）とは、ピエール＝シモン・ラプラスにちなんだ積分

\int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx

の近似に用いられる方法。ここで $f (x)$ は二回連続微分可能な関数、 $n$ は大きな数で、端点 $a$ , $b$ は有限でなくともよい。この方法は Laplace (1774) で初めて用いられた。

ラプラスの方法のアイディア

関数 $f (x)$ が点 $x 0$ においてのみ最大値をとると仮定する。数 $n$ に対して、次の関数を考える。

{\begin{aligned}g(x)&=nf(x)\\h(x)&=e^{nf(x)}\end{aligned}}

点 $x 0$ において関数 $g$ と $h$ も最大値をとることに注意する。また、このとき

{\begin{aligned}{\frac {g(x_{0})}{g(x)}}&={\frac {nf(x_{0})}{nf(x)}}={\frac {f(x_{0})}{f(x)}}\\{\frac {h(x_{0})}{h(x)}}&={\frac {e^{nf(x_{0})}}{e^{nf(x)}}}=e^{n(f(x_{0})-f(x))}\end{aligned}}

である。

数 $n$ が大きくなるにつれて $h$ の比は指数的に大きくなる一方で $g$ の比は変化しない。したがって、関数の積分における支配的な寄与は点 $x 0$ の近傍における点 $x$ のみから来るため近似ができる。

$f (x)$ は区間 $[a, b]$ 上の二回連続微分可能な関数で、ある点 $x 0 \in (a, b)$ でのみ

f(x_{0})=\max _{a\leq x\leq b}f(x),\quad f''(x_{0})<0

を満たすと仮定する。このとき

\int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx\sim e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n|f''(x_{0})|}}}\qquad (n\to \infty )

である^[1]。（ここで $\sim$ は両辺の比が $n \to \infty$ の極限で $1$ に収束することを意味する。）

ラプラスの方法は

\int _{a}^{b}g(x)e^{nf(x)}\,dx\sim g(x_{0})e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n|f''(x_{0})|}}}\qquad (n\to \infty )

と書かれることもある。

n!\sim n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}\quad (n\to \infty )

の導出に用いることができる。ガンマ関数の定義から

n!=\Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{n}\,dt

が得られる。変数変換 $t = nx$ を考えると $dt = ndx$ ゆえ

{\begin{aligned}n!&=\int _{0}^{\infty }e^{-nx}(nx)^{n}n\,dx\\&=n^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-nx}x^{n}\,dx\\&=n^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-nx}e^{n\ln x}\,dx\\&=n^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{n(\ln x-x)}\,dx.\end{aligned}}

この積分はラプラスの方法が適用できる形である。いま $f (x) = ln x - x$ とおけば、これは二階微分可能で、

f'(x)={\frac {1}{x}}-1,\quad f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}.

よって関数 $f (x)$ は点 $x 0 = 1$ でのみ最大値 $f (x 0) = -1$ をとり、 $f''(x 0) = -1$ である。したがって

n!\sim n^{n+1}e^{-n}{\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}=n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}\quad (n\to \infty )

となる。