ルベーグの分解定理

数学の測度論の分野における ルベーグの分解定理（ルベーグのぶんかいていり、英: Lebesgue's decomposition theorem）^[1][2][3]とは、ある可測空間 ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$ 上のすべての二つのσ-有限（英語版）な符号付測度 ${\displaystyle \mu }$ および ${\displaystyle \nu }$ に対して、次を満たすような二つの σ-有限な符号付測度 ${\displaystyle \nu _{0}}$ および ${\displaystyle \nu _{1}}$ が存在することを述べた定理である。

• ${\displaystyle \nu =\nu _{0}+\nu _{1}\,}$
• ${\displaystyle \nu _{0}\ll \mu }$（すなわち、${\displaystyle \nu _{0}}$ は ${\displaystyle \mu }$ に関して絶対連続）
• ${\displaystyle \nu _{1}\perp \mu }$（すなわち、${\displaystyle \nu _{1}}$ と ${\displaystyle \mu }$ は特異的）

これら二つの測度は、${\displaystyle \mu }$ および ${\displaystyle \nu }$ によって一意的に定められる。

改良

ルベーグの分解定理を改良する方法は多く存在する。

はじめに、実数直線上のある正則なボレル測度の特異部の分解は、次のように改良できる^[4]。

${\displaystyle \,\nu =\nu _{\mathrm {cont} }+\nu _{\mathrm {sing} }+\nu _{\mathrm {pp} }}$

但し

• ν_cont は絶対連続（absolutely continuous）な部分
• ν_sing は特異連続（singular continuous）な部分
• ν_pp は純点（pure point）の部分（離散測度）

つづいて、絶対連続測度はラドン＝ニコディムの定理によって分類され、離散測度は簡単に理解することが出来る。したがって（特異連続測度はさておき）ルベーグの分解は測度の非常に明解な記述を提供するものとなる。カントール測度（実数直線上の確率測度で累積分布関数がカントール関数であるようなもの）は特異連続測度の一例である。

関連する概念

レヴィ＝伊藤分解

→詳細は「レヴィ＝伊藤分解」を参照

確率過程に対する同様な分解に、次のようなレヴィ＝伊藤分解がある。あるレヴィ過程（英語版） X が与えられたとき、それは次のような三つの独立なレヴィ過程の和 ${\displaystyle X=X^{(1)}+X^{(2)}+X^{(3)}}$ に分解される。

• ${\displaystyle X^{(1)}}$ はドリフトを伴うブラウン運動で、絶対連続な部分に対応する；
• ${\displaystyle X^{(2)}}$ は複合ポアソン過程（英語版）で、純点の部分に対応する；
• ${\displaystyle X^{(3)}}$ は自乗可積分な pure-jump マルチンゲールで、有限区間においてほとんど確実に可算個の jumps を持つようなものであり、特異連続な部分に対応する。

関連項目

• スペクトル分解
• ハーンの分解定理および対応するジョルダンの分解定理

引用

1. (Halmos 1974, Section 32, Theorem C)
2. (Hewitt & Stromberg 1965, Chapter V, § 19, (19.42) Lebesque Decomposition Theorem)
3. (Rudin 1974, Section 6.9, The Theorem of Lebesgue-Radon-Nikodym)
4. (Hewitt & Stromberg 1965, Chapter V, § 19, (19.61) Theorem)

参考文献

• Halmos, Paul R. (1974) [1950], Measure Theory, Graduate Texts in Mathematics, 18, New York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90088-9, MR0033869, Zbl 0283.28001 
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and Abstract Analysis. A Modern Treatment of the Theory of Functions of a Real Variable, Graduate Texts in Mathematics, 25, Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90138-1, MR0188387, Zbl 0137.03202 
• Rudin, Walter (1974), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Series in Higher Mathematics (2nd ed.), New York, Düsseldorf, Johannesburg: McGraw-Hill Book Comp., ISBN 0-07-054233-3, MR0344043, Zbl 0278.26001 

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