一般のライプニッツの法則

数学の微分積分学において一般化されたライプニッツの法則 (generalized Leibniz rule), 一般のライプニッツの法則（いっぱんのライプニッツのほうそく、英: general Leibniz rule^[1]；一般ライプニッツ則）あるいは単にライプニッツの法則は、積の法則（これもまたライプニッツの法則と呼ばれる）の一般化であり、 $f, g$ を $n$ 回微分可能な関数とするとき、それらの積 $fg$ の $n$ 階微分が

(fg)^{(n)}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}f^{(k)}g^{(n-k)}

で与えられることを述べるものである。ここで $(n k)$ は二項係数である。ドイツの哲学者・数学者のゴットフリート・ライプニッツの名に因む。

この法則は、積の法則と数学的帰納法を用いることで証明できる。

例

$n = 1$ のとき (積の微分法則): $(fg)'=f'g+fg'$
$n = 2$ のとき: $(fg)''=f''g+2f'g'+fg''$
$n = 3$ のとき: $(fg)'''=f'''g+3f''g'+3f'g''+fg'''$

各項の係数は二項定理と同様に二項係数となり、パスカルの三角形から求めることができる。

多因子版

$f 1, \dots, f m$ が $m$ 個の $n$ 階微分可能函数のとき、

(f_{1}f_{2}\dotsm f_{m})^{(n)}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\dotsb +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\dotsc ,k_{m}}}f_{1}^{(k_{1})}f_{2}^{(k_{2})}\dotsm f_{m}^{(k_{m})}

と書ける。

ここで、 ${\binom {n}{k_{1},k_{2},\dotsc ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\dotsm k_{m}!}}$ は多項係数である。

→「多項定理」も参照

多変数版

多重指数記法を使い、より一般に

\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\beta }}(\partial ^{\alpha -\beta }f)(\partial ^{\beta }g)

の形に規則を述べることもできる。この式は、微分作用素の合成の表象を計算する公式の導出に用いられる。実は、 $P, Q$ を（係数が十分多くの回数微分可能であるような）微分作用素とし、 $R ≔ P \circ Q$ とするとき、 $R$ もまた微分作用素であり、 $R$ の表象が $R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \rangle }}R(e^{\langle x,\xi \rangle })$ で与えられるから、ここに直接計算によって

R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial  \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial  \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi )

を得る。この公式はふつう、ライプニッツの公式 (Leibniz fomula) と呼ばれる。これを用いて表象の合成が定義できて、表象全体の成す空間には環の構造が入る。

注釈

^ Olver, Applications of Lie groups to differential equations, page 318

外部リンク

『ライプニッツの公式の証明と二項定理』 - 高校数学の美しい物語
Weisstein, Eric W. "Leibniz Identity". mathworld.wolfram.com (英語).
generalizations of the Leibniz rule - PlanetMath.（英語） / proof of generalized Leibniz rule - PlanetMath.（英語）
Leibniz's Rule at ProofWiki

[1] Olver, Applications of Lie groups to differential equations, page 318

[1]

一般のライプニッツの法則

例

多因子版

多変数版

関連項目

注釈

外部リンク