五乗数
算術演算および代数演算において、五乗数（ごじょうすう、英語: fifth power）とは、ある数値 n の5乗となる数値、すなわち、底を n 、冪指数を 5 とする冪乗( n5 = n × n × n × n × n )である。
数値 n の5乗は、n の4乗に n 自体を掛けたものに等しく、また、n の3乗に n の2乗を掛けたものに等しい。
自然数の５乗
[編集]自然数の5乗を小さい順に列記すると、次のようになる。
- 0, 1, 32, 243, 1024, 3125, 7776, 16807, 32768, 59049, 100000, 161051, 248832, 371293, 537824, 759375, 1048576, 1419857, 1889568, 2476099, 3200000, 4084101, 5153632, 6436343, 7962624, 9765625, ... （オンライン整数列大辞典の数列 A000584）
性質
[編集]10を底とする整数 n の5乗の最小の桁の値は、n の最小の桁の値と同じである。
また、n が奇数のとき、n⁵ - n は240で割り切れることが知られている。
五乗数の列の第4階差数列は公差 120 の等差数列であり、第5階差数列は定数列 120である。したがって五乗数の列は5階等差数列である。
アーベル–ルフィニの定理によれば、未知数の5乗を最大の冪乗とする代数方程式の解に対する一般的な代数式（冪根で表される式）は存在しない。5乗は、これが当てはまる最低の冪指数である。
5乗は、k − 1 個の k 乗数の和を1個の k 乗数で表すことができる冪指数 k のうちの1つで（もう1つは4乗）、オイラー予想に反例を与える。
具体的には、以下の例がある。
- 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445 (Lander & Parkin, 1966)[1]
関連項目
[編集]脚注
[編集]- ^ Lander, L. J.; Parkin, T. R. (1966). “Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers”. Bull. Amer. Math. Soc. 72 (6): 1079. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11654-3.
参考文献
[編集]- Råde, Lennart; Westergren, Bertil (2000) (German). Springers mathematische Formeln: Taschenbuch für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Informatiker, Wirtschaftswissenschaftler (3 ed.). Springer-Verlag. p. 44. ISBN 3-540-67505-1
- Vega, Georg (1783) (German). Logarithmische, trigonometrische, und andere zum Gebrauche der Mathematik eingerichtete Tafeln und Formeln. Vienna. p. 358
- Jahn, Gustav Adolph (1839) (German). Tafeln der Quadrat- und Kubikwurzeln aller Zahlen von 1 bis 25500, der Quadratzahlen aller Zahlen von 1 bis 27000 und der Kubikzahlen aller Zahlen von 1 bis 24000. Leipzig: Verlag von Johann Ambrosius Barth. p. 241
- Deza, Elena; Deza, Michel (2012). Figurate Numbers. Singapore: World Scientific Publishing. p. 173. ISBN 978-981-4355-48-3
- Rosen, Kenneth H.; Michaels, John G. (2000). Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. Boca Raton, Florida: CRC Press. p. 159. ISBN 0-8493-0149-1
- Prändel, Johann Georg (1815) (German). Arithmetik in weiterer Bedeutung, oder Zahlen- und Buchstabenrechnung in einem Lehrkurse - mit Tabellen über verschiedene Münzsorten, Gewichte und Ellenmaaße und einer kleinen Erdglobuslehre. Munich. p. 264
