半連続

解析学における半連続性（英: semi-continuity）とは、拡大実数値関数（値として ±∞ を取り得る）に対して定義される「連続性」よりも弱い性質である。概略的に言うと、拡大実数値関数 f が点 x₀ で上（下）半連続であるとは、x₀ の十分近くで函数の値が f(x₀) に近いかもしくは f(x₀) よりも小さい（大きい）ことを言う。

例

上半連続な関数。青で塗り潰した点がf(x₀)。

x < 0 において f(x) = –1、x ≥ 0 において f(x) = 1 と区分的に定義された関数fを考える。この関数はx₀ = 0において上半連続であるが、下半連続ではない。

下半連続な関数。青で塗り潰した点がf(x₀)。

閉集合の指示関数が上半連続である一方、開集合の指示関数は下半連続である。与えられた実数xに対し、それ以下の最大の整数を返す床関数 ${\displaystyle f(x):=\lfloor x\rfloor }$ は、全ての点において上半連続である。同様に、天井関数 ${\displaystyle f(x):=\lceil x\rceil }$ は下半連続である。

関数は、左連続と右連続のいずれでもなくても、上または下半連続でありうる。例えば、関数

${\displaystyle f(x):={\begin{cases}1,&x<1,\\2,&x=1,\\1/2,&x>1\end{cases}}}$

はx = 1では左連続でも右連続でもないが、上半連続である。左からの極限は1、右からの極限は1/2であり、いずれも関数値の2とは異っている。同様に、関数

${\displaystyle f(x):={\begin{cases}\sin(1/x),&x\neq 0,\\1,&x=0\end{cases}}}$

はx = 0において、左右からの極限値は存在すらしていないが、上半連続である。

厳密な定義

Xを位相空間、x₀ を X 上の点とし、f: X → R ∪ {−∞, +∞} は拡大実数値関数とする。任意の ε >0 に対してx₀ の近傍 U が存在し、U に属するどの x に対しても f(x) ≤ f(x₀) + ε となるとき、あるいは同じことだが、

${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})}$

となるとき、f は x₀ で上半連続であると言う。ここで lim sup は（x₀ における関数 f の）上極限である。

函数 f が上半連続函数であるとは、それが定義域の全ての点において上半連続であることをいう。函数 f が上半連続函数となるための必要十分条件は、集合 {x ∈ X : f(x) < α} がいずれの α ∈ R についても開集合となることである。

同様に、函数 f が点 x₀ において下半連続であるとは、任意の ε > 0 に対し、x₀ の近傍 U で U の各点 x において f(x) ≥ f(x₀) − ε となるようなものが存在すること、あるいは同じことだが、

${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})}$

が成立することをいう。ここで lim inf は（点 x₀ における函数 f の）下極限である。

函数 f が下半連続函数であるとは、それがその定義域の全ての点で下半連続となるときにいう。函数 f が下半連続函数となるのは、任意の α ∈ R に対して {x ∈ X : f(x) > α} が開集合となるときであり、かつそのときに限る。

性質

関数は x₀ において上半連続かつ下半連続であるとき、その点において連続であり、かつ連続となるのはそのときに限る。従って、半連続性を連続性の証明に利用できる。

2つの実数値関数 f と g が共に x₀ で上半連続ならば、f + g もまた上半連続である。もしどちらの関数も非負であるなら、積関数 fg もまた x₀ において上半連続である。

上半連続関数ｆに対し、−ｆは下半連続関数となる。また、正の上半連続関数ｆに対し、１/ｆは下半連続関数となる。

C がコンパクト空間（例えば有界閉区間 [a, b]）で、f: C → [−∞, ∞) が上半連続ならば、f は C 上で最大値をとる。(−∞, ∞]-値下半連続関数と最小値についても同様のことが言える（証明は最大値最小値定理を参照）。

空でない集合 I で添字付けられた函数の族 f_i: X → [−∞, ∞] が全ての添字 i について下半連続関数であり、f が f_i たちの点ごとの上限、すなわち

${\displaystyle f(x)=\sup _{i\in I}f_{i}(x),\qquad x\in X}$

で定義されるものとするとき、fは下半連続である。全ての f_i が連続であったとしても、f は必ずしも連続ではない。実際に、一様空間（例えば距離空間）における全ての下半連続関数は連続函数列の上限として現れる。

あらゆる開集合の指示関数は下半連続である。閉集合の指示関数は上半連続である。

関数 f: Rⁿ → R は、そのエピグラフ（グラフ上、またはグラフより上の点の集合）が閉集合である時にのみ下半連続となる。

位相空間 X について、関数 f: X → R が下半連続函数となることと、f が R 上のスコット位相（英語版） に関して連続であることとは同値である。

参考文献

• Bourbaki, Nicolas (1998). Elements of Mathematics: General Topology, 1–4. Springer. ISBN 0201006367 （ニコラ・ブルバキ『数学原論』）
• Bourbaki, Nicolas (1998). Elements of Mathematics: General Topology, 5–10. Springer. ISBN 3540645632 
• Gelbaum, Bernard R.; Olmsted, John M.H. (2003). Counterexamples in analysis. Dover Publications. ISBN 0486428753 
• Hyers, Donald H.; Isac, George; Rassias, Themistocles M. (1997). Topics in nonlinear analysis & applications. World Scientific. ISBN 9810225342