巡回加群

数学において、巡回加群（じゅんかいかぐん、英: cyclic module）とは、1つの元で生成される加群のことである。

定義

環 R 上の左加群 M が巡回加群であるとは、ある x ∈ M が存在して、${\displaystyle M=Rx:=\{rx\mid r\in R\}}$ となることである。右加群についても同様に定義される。

例

• 正則加群 _RR は巡回 R-加群である。
• 巡回群は巡回 Z-加群である。
• 単純加群は巡回加群である。
• 代数的閉体 F 上の線型空間 V をとる。線型作用素 T: V → V の固有値 λ に関する広義固有空間 V_(λ) は巡回 F[T]-加群である。

性質

R を環とする。左 R-加群 M が巡回加群であるための必要十分条件は、M が _RR の剰余加群となることである^[1]。具体的には、M = Rx のとき、準同型定理より ${\displaystyle Rx\cong R/\operatorname {Ann} _{R}(x)}$ となる。ただし、${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(x)=\{r\in R\mid rx=0\}}$ である。

巡回 Z-加群の部分加群は再び巡回加群であるが、一般の環上の巡回加群の部分加群は巡回加群とは限らない^[2]。

脚注

1. 岩永 & 佐藤 2002, 命題2-2-4.
2. たとえば R = M = Z[x] とすると、その部分加群 2M + xM は巡回加群ではない。

参考文献

• 岩永, 恭雄、佐藤, 眞久『環と加群のホモロジー代数的理論』（第1版）日本評論社、2002年。ISBN 4-535-78367-5。