真凸函数

数学の解析学（特に、凸解析）と数理最適化の分野において、真凸函数（しんとつかんすう、英: proper convex function）とは、拡大実数に値を取る凸函数 f で、少なくとも一つの x に対して

f(x)<+\infty

が成立し、すべての x に対して

f(x)>-\infty

が成立するもののことを言う。すなわち凸函数が真であるとは、その有効領域が空でなく、値として $-\infty$ を取ることがないことを言う^[1]。真でない凸函数は広義凸函数（improper convex function）と呼ばれる^[2]。

真凹函数とは、 $f=-g$ が真凸函数であるような任意の函数 g のことを言う。

性質

Rⁿ 上のすべての真凸函数 f に対し、ある Rⁿ 内の b と R 内の β が存在して

f(x)\geq x\cdot b-\beta

がすべての x について成立する。

二つの真凸函数の和は必ずしも真あるいは凸ではない。例えば、集合 $A\subset X$ と $B\subset X$ がベクトル空間 X 内の空でない凸集合であるなら、指示函数（英語版） $I_{A}$ と $I_{B}$ は真凸函数であるが、 $A\cap B=\emptyset$ であるなら $I_{A}+I_{B}$ は恒等的に $+\infty$ に等しい。

二つの真凸函数の最小畳み込みは凸であるが、必ずしも真凸ではない^[3]。

参考文献

^ Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3 ed.). Springer. p. 254. doi:10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0
^ Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. p. 24. ISBN 978-0-691-01586-6
^ Ioffe, Aleksandr Davidovich; Tikhomirov, Vladimir Mikhaĭlovich (2009), Theory of extremal problems, Studies in Mathematics and its Applications, 6, North-Holland, p. 168, ISBN 9780080875279 .

[AB-1] Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3 ed.). Springer. p. 254. doi:10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0

[2] Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. p. 24. ISBN 978-0-691-01586-6

[3] Ioffe, Aleksandr Davidovich; Tikhomirov, Vladimir Mikhaĭlovich (2009), Theory of extremal problems, Studies in Mathematics and its Applications, 6, North-Holland, p. 168, ISBN 9780080875279 .

[1]

[2]

[3]