経験過程(けいけんかてい、英: empirical process)は、経験測度の中心極限定理の一般化のひとつである。経験過程の理論は、ノンパラメトリック統計学などに応用される。
ある一定の条件のもとで、経験測度Pnが、確率測度へ収束するという結果はよく知られている(Glivenko-Cantelliの定理)。経験過程の理論によって、この収束の速さを説明することができる。
中心化・基準化された経験測度は、
となる。これによる、適当な可測関数fの像は、
と書くことができる。中心極限定理により、適当な可測集合Aに対して、は、正規確率変数N(0, P(A)(1 − P(A)))へ分布収束する。同様に、適当な関数fに対して、は、正規確率変数へ分布収束する。
- 定義
- をSの可測な部分集合の族における経験過程という。
- をSからへの可測関数の族における経験過程という。
経験過程に関する有名な結果のひとつに、Donskerの定理がある。この定理は、ある一定のガウス過程へ弱収束する経験過程のクラス(Donskerクラス)についての研究につながった。DonskerクラスはGlivenko-Cantelliクラスになるが、その逆は一般的に正しくない。
例として、経験分布関数を考える。i.i.d.確率変数において、これは、
と与えられる。この例では、経験過程はのクラスによって特徴づけられる。このはDonskerクラスであることを示すことができ、特に、: はブラウン橋 B(F(x))に弱収束する。
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