Парсеваль теоремасы

Парсеваль теоремасы деп унитарлық Фурье түрлендіруін айтады. Яғни функция квадратының (немесе интегралының) қосындысы түрлендірілген нәтиженің квадраттарының (немесе интегралының) қосындысына тең болады. Парсеваль теоремасының жалпы түрін Планшерел теоремасы немесе Рэлейдің жалпы формуласы деп аталады. Теорема қатарлар үшін Марком-Антуан Парсевалмен 1799 жылы дәлелденген және кейінірек Фурье қатарына қолданылған.

Теорема былай жазылады

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|{\mathcal {F}}\{x(t)\}|^{2}df,}$

мұндағы${\displaystyle {\mathcal {F}}\{\cdot \}}$ уақыттық және кеңістіктік ${\displaystyle x(t)}$ сигналын оның ${\displaystyle X(f)}$ жиілік облысындағы өрнектелуін байланыстыратын үздіксіз Фурье түрлендіруі.

Теореманы дискретті түрде былай жазады:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{N-1}|x(i)|^{2}={1 \over N}\sum _{k=0}^{N-1}|X(k)|^{2}}$,

мұндағы ${\displaystyle X(k)}$ N санақты ${\displaystyle x(k)}$ сигналының Дискреттік Фурье түрлендіруі.

Парсеваль теоремасы сигнал энергиясы мен оның спектрі энергиясы теңдігін анықтайды.

MATLAB тіліндегі Парсеваль теоремасын көрсететін код

N = 100;               % санақ саны
x = randn(1,N);        % қалыпты үлестіру
Et = norm(x)^2;        % немесе: Et = sum(x.^2);
fprintf('Уақыттық облысындағы сигнала энергиясы: %f \n', Et);

X = fftn(x);
Ew = 1/N * norm(X)^2;  % или так: Ew = 1/N * sum(X.^2);
fprintf('Жиілік облысындағы сигнала энергиясы: %f \n', Ew);

xnew = ifftn(X);
Etn = norm(xnew)^2;    % немесе: Etn = sum(xnew.^2);
fprintf('Жиілік облысындағы сигнала энергиясы: %f \n', Etn);

Бағдарлама жұмысы нәтижесі
-----------------------------
Уақыттық облысындағы сигнала энергиясы: 94.236108 
Жиілік облысындағы сигнала энергиясы: 94.236108 
Уақыттық облысындағы сигнала энергиясы: 94.236108

Әдебиеттер

1. Баскаков, С. И. Радиотехнические цепи и сигналы — 3-е изд. — «Высшая школа», 2000. — Б. 462. — ISBN 5-06-003843-2.
2. Гоноровский, И. С. Радиотехнические цепи и сигналы — 4-е изд. — «Радио и связь», 1986. — Б. 512.