Унитар оператор

Унитар оператор — келесі шартты қанағаттандыратын H Гильберттік кеңістікте анықталған сызықтық шекті оператор U : H → H

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I\!}$

мұндағы U^∗ — U операторынна эрмиттік түйіндес, және I : H → H бірлік оператор.

Бұл қасиет келесімен бара-бар:

1. U гильберттік кеңістік 〈  ,  〉скаляр көбейтіндісін сақтайды, яғни гильберттік кеңістіктегі барлық x пен y векторлар үшін, ${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle .}$
2. U — сюръективті оператор.

Бұл бір қарағанда әлсізірек шарт көрінетін келесі шартпен де бара-бар:

1. U скаляр көбейтіндіні сақтайды, және
2. U бейнесі — тығыз жиын.

Оны көру үшін, U изометриялы екендігін байқау керек (сондықтан шекті сызықтық оператор болып табылады). Бұл U скаляр көбейтіндіні сақтайтындығынан шығады. U бейнесі - тығыз жиын болатыны кері оператордың да шекті екенін көрсетеді. U⁻¹ = U^∗ екені де айқын.

Унитар элемент унитар операторының жалпыланған ұғымы. Унитарлы алгебрада алгебраның U элементі келесі шарт қанағаттандырылса унитар элемент деп аталады

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I}$

мұндағы I бірлік элемент.^[1]

Унитар түрлендірулердің қасиеттері:

• унитарлы түрлендіру операторы әрқашан кері операторлы.
• егер ${\displaystyle {\hat {H}}}$ операторы эрмиттік болса, онда ${\displaystyle {\hat {U}}=\exp(i{\hat {H}})}$ оператор унитарлы.

Дереккөздер

1. Doran Robert S. Characterizations of C*-Algebras: The Gelfand-Naimark Theorems — New York: Marcel Dekker, 1986. — ISBN 0824775694.