កត្តាអាំងតេក្រាល

ក្នុងគណិតវិទ្យា កត្តាអាំងតេក្រាល​គឺ​ជា​អនុគមន៍​ដែលត្រូវបានគេ​ជ្រើសរើស​ដើម្បី​សំរួល​ដល់​ការដោះស្រាយ​សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

វិធីសាស្រ្ត

គេមានសមីការឌីផេរ៉ងស្យែលនៃទម្រង់

${\displaystyle y'+a(x)y=b(x)\quad \quad \quad \color {magenta}(1)}$

ដែល ${\displaystyle \ y=y(x)}$ ជាអនុគមន៍មិនស្គាល់នៃ ${\displaystyle \ x}$ និង ${\displaystyle \ a(x)}$និង${\displaystyle \ b(x)}$ ជាអនុគមន៍ដែលគេអោយ។

វិធីសាស្រ្តកត្តាអាំងតេក្រាល​ដំណើរការ​ដោយត្រលប់​អង្គខាងធ្វេង​ទៅជា​ទម្រង់ដេរីវេនៃផលគុណ

ចាត់ទុកអនុគមន៍ ${\displaystyle \ M(x)}$ ។ យើងគុណអង្គទាំងសងខាងនឹងនៃ ${\displaystyle \ \color {magenta}(1)}$ ដោយ ${\displaystyle \ M(x)}$ យើងបាន

${\displaystyle M(x)y'+M(x)a(x)y=M(x)b(x)\quad \quad \quad \color {magenta}(2)}$

យើងចង់អោយអង្គខាងធ្វេងទៅជាទម្រង់ដេរីវេនៃផលគុណ (សូមមើល ក្បួនផលគុណ) ។ តាមពិត ប្រសិនបើយើងសន្មតថាអង្គខាងធ្វេងនេះអាចសំដែងឡើងវិញជា

${\displaystyle (M(x)y)'=M(x)b(x)\quad \quad \quad \color {magenta}(3)}$

អង្គខាងឆ្វេងក្នុង ${\displaystyle \ \color {magenta}(3)}$ អាចត្រូវបានធ្វើអាំងតេក្រាលយ៉ាងងាយដោយប្រើទ្រឹស្តីបទគ្រឹះនៃការគណនា៖

${\displaystyle y(x)M(x)=\int b(x)M(x)\,dx+C,}$

ដែល ${\displaystyle C}$ ជាចំនួនថេរ ។ យើងអាចដោះស្រាយសមីការចំពោះ ${\displaystyle \ y(x)}$

${\displaystyle y(x)={\frac {\int b(x)M(x)\,dx+C}{M(x)}}\,}$

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ ${\displaystyle \ y(x)}$ យើងចាំបាច់រកកន្សោមមួយចំពោះ ${\displaystyle \ M(x)}$ ។

សរសេរ ${\displaystyle \ \color {magenta}(3)}$ ឡើងវិញដោយប្រើក្បួនផលគុណ។

${\displaystyle (M(x)y)'=M'(x)y+M(x)y'=M(x)b(x)\quad \quad \quad }$

តួសមភាពក្នុង ${\displaystyle \ \color {magenta}(2)}$ គឺវាប្រាកដថា ${\displaystyle \ M(x)}$ គោរពតាមសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

${\displaystyle M'(x)=a(x)M(x)\quad \quad \quad \color {magenta}(4)\,}$

ដើម្បីទទួលបាន ${\displaystyle \ M(x)}$ ចែកអង្គទាំងពីរនឹង ${\displaystyle \ M(x)}$ គេបាន

${\displaystyle {\frac {M'(x)}{M(x)}}-a(x)=0\quad \quad \quad \color {magenta}(5)}$

សមីការ ${\displaystyle \ \color {magenta}(5)}$ គឺជាទម្រង់នៃដេរីវេលោការីត។ ដោយដោះស្រាយសមីការ ${\displaystyle \ \color {magenta}(5)}$ យើងបាន

${\displaystyle M(x)=e^{\int a(x)\,dx}}$

យើងឃើញថាផលគុណនឹង ${\displaystyle \ M(x)}$ និងលក្ខណៈ ${\displaystyle \ M'(x)=a(x)M(x)}$ គឺមានសារៈសំខាន់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ${\displaystyle \ M(x)}$ ហៅថាកត្តាអាំងតេក្រាល។

ឧទាហរណ៍

ដោះស្រាយសមីការសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=0}$

យើងអាចឃើញថាក្នុងករណីនេះ ${\displaystyle a(x)={\frac {-2}{x}}}$

${\displaystyle M(x)=e^{\int a(x)\,dx}}$

${\displaystyle M(x)=e^{\int {\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}}$ (សំគាល់៖ យើងមិនចាំបាច់បញ្ចូលថេរអាំងតេក្រាលទេ យើងត្រូវការតែចំលើយមួយគត់ មិនមែនចម្លើយទូទៅទេ)

${\displaystyle M(x)={\frac {1}{x^{2}}}}$

ដោយគុណអង្គទាំងសងខាងនឹង ${\displaystyle \ M(x)}$ យើងបាន

${\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}$

${\displaystyle \left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0}$

ឬ

${\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}=C\,}$

ដូចនេះ

${\displaystyle \ y(x)=Cx^{2}}$

បម្រើបម្រាស់ទូទៅ

ពាក្យកត្តាអាំងតេក្រាលស្ទើរតែជាចម្លើយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទី១។ ឧទាហរណ៍ចំពោះសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរលំដាប់ទី២

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}}$

អាចទទួលបាន ${\displaystyle {\tfrac {dy}{dt}}}$ នូវកត្តាអាំងតេក្រាល

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}}$

ដើម្បីធ្វើអាំងតេក្រាល កត់សំគាល់ថា​អង្គទាំងសងខាង​នៃសមីការ​អាចសំដែងជាដេរីវេ​ដោយត្រលប់ថយក្រោយវិញជាមួយនិងក្បួនឆេន (chain rule) (ឬហៅថាទ្រឹស្តីបទដេរីវេនៃអនុគមន៍បណ្តាក់)៖

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right)}$

ហេតុនេះ

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}$

ដោយប្រើវិធីបំបែកអថេរ គេបាន

${\displaystyle \int {\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t+C_{1}}$

នេះ​ជា​ដំណោះស្រាយអ៊ីមផ្លីស៊ីត​ដែលជាប់ទាក់ទង់និងអាំងតេក្រាលថ្នាក់ខ្ពស់។