វិសមភាព កុលហ្គោម៉ូរ៉ូវ

វិសមភាពកុលហ្គោម៉ូរ៉ូវ (Kolgomorov's inequality) គឺ​ជា​វិសមភាព​មួយ​ដែល​អោយ​ទំនាក់ទំនង ក្នុង​អនុគមន៍​មួយ និង​ដេរវេ​ទី១ ទី២​របស់​វា។ ខាងក្រោម​នេះ​​ជា​ពំនោល​​របស់​វិសមភាព​កុលហ្គោម៉ូរ៉ូវ៖

តាង ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ជាអនុគមន៍មានដេរីវេពីរដងនៅលើ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ គឺ ${\displaystyle f\,}$ និង ${\displaystyle f''\,}$ កំនត់លើ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ។ ចង្អុលបង្ហាញ

${\displaystyle M_{0}=\sup _{x\in \mathbb {R} }|f(x)|,\ M_{1}=\sup _{x\in \mathbb {R} }|f'(x)|,\ M_{2}=\sup _{x\in \mathbb {R} }|f''(x)|}$ ។

នោះ ${\displaystyle f'\,\!}$ ទាល់​លើ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ និង ${\displaystyle M_{1}\leq {\sqrt {2M_{0}M_{2}}}}$.

សំរាយបញ្ជាក់

ដើម្បី​ស្រាយបញ្ជាក់​វិសមភាព​នេះ យើង​ត្រូវ​ប្រើទ្រឹស្តីបទតេល័រ

តាង ${\displaystyle a\in \mathbb {R} _{+}^{*},x\in \mathbb {R} }$ ។ ដោយអនុវត្តវិសមភាពតាយល័រ-ឡាហ្ក្រង់ (Taylor-Lagrange Inequality) ចំពោះ ${\displaystyle f\,\!}$ នៅលើចន្លោះ ${\displaystyle [x-a,x]\,\!}$ និង ${\displaystyle [x,x+a]\,\!}$ យើងបាន

${\displaystyle {\begin{cases}|f(x-a)-(f(x)-af'(x))|\leq {\frac {a^{2}}{2}}M_{2}\\|f(x+a)-(f(x)+af'(x))|\leq {\frac {a^{2}}{2}}M_{2}\end{cases}}}$

ដោយ

${\displaystyle |f(x+a)-f(x-a)-2af'(x)|\,\!}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&=|(f(x+a)-(f(x)+af'(x)))-(f(x-a)-(f(x)-af'(x)))|\\&\leq a^{2}M_{2}\\\end{alignedat}}}$

ដូច្នេះ

${\displaystyle |2af'(x)|\leq |f(x+a)-f(x-a)|+a^{2}M_{2}\leq 2M_{0}+a^{2}M_{2}}$ ។

ហេតុនេះ

${\displaystyle M_{1}\leq {\frac {M_{0}}{a}}+{\frac {1}{2}}aM_{2}\leq {\sqrt {2M_{0}M_{2}}}}$

ដែល​យើង​បាន​ប្រើ​ប្រាស់​វិសមភាព AM-GM (AM-GM inequality) នៅ​ជំហាន​ចុង​ក្រោយ​គេ។