វិសមភាពនេស្ប៉ីត

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា វិសមភាពនេស្ប៉ីត (Nesbitt's inequality) គឺជាករណីពិសេសនៃវិសមភាពសាពីរ៉ូ (Shapiro inequality)។ វិសមភាពនេះចែងថាចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត a, b និង c យើងបាន

${\displaystyle \color {blue}{\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}}$

សំរាយបញ្ជាក់

សំរាយបញ្ជាក់ទី១

ចាប់ផ្តើមចេញពីវិសមភាពនេស្ប៉ីត (1903)

${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}}$

យើងបំលែងអង្គខាងធ្វេង

${\displaystyle {\frac {a+b+c}{b+c}}+{\frac {a+b+c}{a+c}}+{\frac {a+b+c}{a+b}}-3\geq {\frac {3}{2}}}$ ។

ឥឡូវវាអាចបំលែងជា

${\displaystyle ((a+b)+(a+c)+(b+c))\left({\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}\right)\geq 9}$ ។

ដោយវានឹង៣ ហើយកត្តាអង្គខាងស្តាំក្លាយជា៖

${\displaystyle {\frac {(a+b)+(a+c)+(b+c)}{3}}\geq {\frac {3}{{\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}}}}$ ។

ឥឡូវនៅអង្គខាងធ្វេងយើងមានមធ្យមនព្វន្ឋ និងនៅអង្គខាងស្តាំយើងមានមធ្យមអាម៉ូនិក។ ដូច្នេះវិសមភាពនេះគឺពិតជាត្រឹមត្រូវ។

យើងក៏អាចចង់សាកល្បងប្រើប្រាស់ GM ចំពោះអញ្ញតិបីបានផងដែរ។

សំរាយបញ្ជាក់ទី២

ឧបមា ${\displaystyle a\geq b\geq c}$ យើងបាន

${\displaystyle {\frac {1}{b+c}}\geq {\frac {1}{a+c}}\geq {\frac {1}{a+b}}}$

អាចកំនត់បាន

${\displaystyle {\vec {x}}=(a,b,c)}$

${\displaystyle {\vec {y}}=({\frac {1}{b+c}},{\frac {1}{a+c}},{\frac {1}{a+b}})}$

ផលគុណស្កាលែរនៃតៗគ្នានៃពីរវ៉ិចទ៍រគឺមានតំលៃអតិប្បរមា ដោយសារតែវិសមភាពតំរៀបឡើងវិញ (Rearrangement inequality)។ ប្រសិនបើពួកវាត្រូវបានគេំរៀបតាមវិធីដូចគ្នា ហៅថា ${\displaystyle {\vec {y}}_{1}}$ និង ${\displaystyle {\vec {y}}_{2}}$ វ៉ិចទ័រ ${\displaystyle {\vec {y}}}$ នោះគេបាន

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}\geq {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}_{1}}$

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}\geq {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}_{2}}$

ដូវច្នេះគេបានវិសមភាពនេស្ប៉ីត។

សំរាយបញ្ជាក់ទី៣

សញ្ញាណខាងក្រោមគឺពិតចំពោះគ្រប់ ${\displaystyle a,b,c\,}$

${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}={\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {(a-b)^{2}}{(a+c)(b+c)}}+{\frac {(a-c)^{2}}{(a+b)(b+c)}}+{\frac {(b-c)^{2}}{(a+b)(a+c)}}\right)}$

សញ្ញាណនេះបញ្ជាក់ឃើញថាអង្គខាងធ្វេងគឺមិនតូចជាង ${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$ ទេចំពោះចំនួនវិជ្ជមាន a, b, និង c ។

សំរាយបញ្ជាក់ទី4

យើងអាចឧបមាថា ${\displaystyle a\leq b\leq c}$ នោះគេបាន ${\displaystyle b+c\geq c+a\geq a+b}$ ដូចនេះគេបាន:

${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{c+a}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3(a+b+c)}{b+c+c+a+a+b}}={\frac {3}{2}}}$

សំរាយបញ្ជាក់ទី5

យើងមានៈ ${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{c+a}}+{\frac {c}{a+b}}+{\frac {3}{2}}={\frac {1}{2}}{\biggl (}{\frac {a+b}{b+c}}+{\frac {b+c}{c+a}}+{\frac {c+a}{a+b}}+{\frac {a+b}{c+a}}+{\frac {c+a}{b+c}}+{\frac {b+c}{a+b}}{\biggl )}\geq {\frac {6}{2}}=3}$

យើងទាញបានៈ ${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{c+a}}+{\frac {c}{a+b}}\geq 3-{\frac {3}{2}}={\frac {3}{2}}}$