강제법

집합론에서 강제법(强制法, 영어: forcing)은 특정한 조건을 만족시키는 집합론 모형을 정의하는 방법이다.^[1][2][3][4]

강제법은 주어진 집합론의 모형에 새로운 집합을 추가함으로써 새로운 모형을 만드는 과정이다. 가령, 연속체 가설의 부정이 충족되는 모형을 만드려는 경우를 고려하자. ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\geq \aleph _{2}}$이면 연속체 가설이 거짓이므로, 자연수 집합 ${\displaystyle \mathbb {N} }$의 부분 집합을 충분히 많이 추가해서 새로운 모형을 만듦으로써 연속체 가설이 성립하지 않게 만드는 것을 생각할 수 있다. 강제법은 그러한 모형을 만드는 것을 가능하게 해 준다.

강제법에 대하여 파트리크 드오르누아(프랑스어: Patrick Dehornoy)는 다음과 같이 비유하였다.

“	집합론의 강제법 확장은 마치 체론의 대수적 확대에 비유할 수 있다. 두 경우 모두 공통적인 목표는 주어진 구조를 확장하되, 확장된 구조의 성질이 원래 구조 속에서 제어될 수 있게 하는 것이다. 대수적 확대의 경우, 확대체의 원소는 원래 체의 원소를 계수로 하는 다항식으로 묘사된다. 마찬가지로, 강제법 확장의 경우, […] 원소들은 원래 모형에 등장하는 매개 변수들로 쓸 수 있는 항들로 묘사된다. [On peut] imaginer les extensions par forcing en théorie des ensembles comme analogues aux extensions algébriques en théorie des corps: dans les deux cas, il s’agit de construire une extension de la structure de départ dont les propriétés soient contrôlées de l’intérieur de celle-ci. Dans les extensions algébriques, les éléments de l’extension sont décrits par des polynômes à coefficients dans le corps de base; de même, dans une extension par forcing […] les éléments dont décrits par des termes dont les paramètres appartiennent au modèle de base.	”
	— [5]^:§3

정의

강제법 언어

${\displaystyle M}$이 추이적 집합이라고 하자. 또한, 임의의 집합 ${\displaystyle P}$ 및 그 부분 집합 ${\displaystyle G\subseteq P}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면

${\displaystyle M^{P}=\{u\in \operatorname {Name} _{P}\colon \operatorname {val} _{G}(u)\in M\}}$

을 정의하자. 이는 ${\displaystyle M}$에서 ${\displaystyle G}$-해석할 수 있는 ${\displaystyle P}$-이름들의 집합이다.

그렇다면 강제법 언어 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{P}}$는 집합론의 1차 논리 언어 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in }}$에 ${\displaystyle M^{P}}$의 원소들을 상수(0항 연산)로 추가한 1차 논리 언어이다.

임의의 원소 ${\displaystyle x\in M}$에 대하여, 이름

${\displaystyle {\check {x}}=\{({\check {y}},p)\colon y\in x,\;p\in P\}\in M^{P}}$

를 정의하자.^{[6]:239, Exercise VIII(B2)} 이는 ${\displaystyle x\in M}$의 이름이라고 한다.

강제법 모형

집합 ${\displaystyle P}$와 그 부분 집합 ${\displaystyle G\subseteq P}$ 및 추이적 집합 ${\displaystyle M}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{P}}$의 추이적 모형 ${\displaystyle M[G]}$를 다음과 같이 정의하자.

• 집합으로서, ${\displaystyle M[G]=\{\operatorname {val} (u,G)\colon u\in M^{P}\}}$는 ${\displaystyle M}$에 속하는 이름들의 해석들이다.
• ${\displaystyle \in }$의 해석은 외적인 개념과 같다.
• ${\displaystyle M[G]}$에서, 상수 ${\displaystyle u\in M^{P}}$의 해석은 ${\displaystyle \operatorname {val} _{G}(u)}$이다.

이에 대하여 케네스 쿠넌은 다음과 같이 적었다.

“	대략, 이것[${\displaystyle M[G]}$]은${\displaystyle M}$에서 정의 가능한 집합론적 과정을 ${\displaystyle G}$에 적용하여 구성할 수 있는 모든 집합들의 집합이다. ${\displaystyle M[G]}$의 각 원소들은 ${\displaystyle M}$ 속의 이름을 가지며, 이는 이것이 어떻게 ${\displaystyle G}$로부터 구성되었는지를 가리킨다. […] ${\displaystyle M}$ 속에 사는 사람들은 ${\displaystyle M[G]}$의 원소의 이름 ${\displaystyle \tau }$를 이해할 수 있다. 그러나 이들은 이름 ${\displaystyle \tau }$가 명명하는 대상 ${\displaystyle \tau _{G}}$를 일반적으로 결정하지 못한다. 이는 ${\displaystyle \tau _{G}}$의 이해는 ${\displaystyle G}$에 대한 지식을 필요로 하기 때문이다. Roughly, this [${\displaystyle M[G]}$] will be the set of all sets which can be constructed from ${\displaystyle G}$ by applying set-theoretic processes definable in ${\displaystyle M}$. Each element of ${\displaystyle M[G]}$ will have a name in ${\displaystyle M}$, which tells how it has been constructed from ${\displaystyle G}$. […] People living within ${\displaystyle M}$ will be able to comprehend a name, ${\displaystyle \tau }$, for an object in ${\displaystyle M[G]}$, but they will not in general be able to decide the object, ${\displaystyle \tau _{G}}$, that ${\displaystyle \tau }$ names, since this will require a knowledge of ${\displaystyle G}$.	”
	— [6]^:188, §VII.2

강제성 관계

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 추이적 집합 ${\displaystyle M}$
• 원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$ 및 그 부분 집합 ${\displaystyle G\subseteq P}$. 대략, ${\displaystyle p\lesssim q}$라면 ${\displaystyle q}$가 ${\displaystyle p}$보다 "더 많은 정보를 제공한다"고 여긴다.
• 강제법 언어 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{P}}$의 1차 논리 문장 ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}_{P})}$
• 원소 ${\displaystyle p\in P\in M}$. 이를 강제 조건(영어: forcing condition)이라고 한다.

그렇다면, 다음과 같은 관계를 정의하자.^[6]

${\displaystyle p\Vdash _{P,M}\phi \iff \forall G\in \operatorname {Generic} (P,M)\colon p\in G\implies M[G]\models \phi }$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Generic} (P,M)}$는 ${\displaystyle M}$에 속하는 ${\displaystyle P}$의 모든 공종 집합들의 족 ${\displaystyle \operatorname {Cofin} (P)\cap M}$에 대하여 모든 ${\displaystyle \operatorname {Cofin} (P)\cap M}$-포괄적 순서 아이디얼들의 집합이다.

또한, 다음과 같은 관계

${\displaystyle p\Vdash ^{*}\phi }$

를 재귀적으로 정의하자.^{[6]:195–196, Definition VII.3.3} (여기서 ${\displaystyle u,v\in \operatorname {Name} _{P}}$는 임의의 두 ${\displaystyle P}$-이름이다.)

${\displaystyle \left(p\Vdash ^{*}u\in v\right)\iff \forall q\gtrsim p\exists r\gtrsim q\exists ({\tilde {u}},s)\in v\colon r\gtrsim s\land \left(r\Vdash u={\tilde {u}}\right)}$

${\displaystyle \left(p\Vdash ^{*}u=v\right)\iff \forall q\gtrsim p\forall w\in M^{P}\colon (q\Vdash ^{*}w\in u)\iff (q\Vdash ^{*}w\in v)}$

${\displaystyle \left(p\Vdash ^{*}\lnot \phi \right)\iff \nexists q\gtrsim p\colon q\Vdash \phi }$

${\displaystyle \left(p\Vdash ^{*}\phi \land \chi \right)\iff \left(p\Vdash ^{*}\phi \right)\land \left(p\Vdash ^{*}\phi \right)}$

${\displaystyle \left(p\Vdash ^{*}\forall x\colon \phi (x)\right)\iff \forall u\in M^{P}\colon \left(p\Vdash ^{*}\phi [u]\right)}$

성질

강제법 모형

집합 ${\displaystyle P}$와 그 부분 집합 ${\displaystyle G\subseteq M}$ 및 추이적 집합 ${\displaystyle M}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle \{{\check {m}}\colon M\in M\}\subseteq M^{P}}$

이다. 만약 ${\displaystyle P\neq \varnothing }$이라면

${\displaystyle M\to M^{P}}$

${\displaystyle m\mapsto {\check {m}}}$

은 단사 함수이며, 만약 추가로 ${\displaystyle G\neq \varnothing }$이라면

${\displaystyle \forall m\in M\colon \operatorname {val} _{G}({\check {m}})=m}$

이다. 따라서, ${\displaystyle G\neq \varnothing }$이라면 ${\displaystyle M\subseteq M[G]}$이다.

또한, 만약 ${\displaystyle \varnothing \neq G\subseteq P\in M}$일 때, ${\displaystyle P}$-이름

${\displaystyle u=\{({\check {p}},p)\colon p\in P\}}$

을 생각하면

${\displaystyle \operatorname {val} _{G}(u)=G}$

이다. 따라서, 이 경우 ${\displaystyle G\in M[G]}$이다.

만약 ${\displaystyle M}$이 추가로 ZFC의 추이적 모형이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.^{[6]:189, Lemma VII.2.9[7]:361, §4}

임의의 ${\displaystyle M'\supseteq M}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle M'}$ 역시 ZFC의 추이적 모형이며 ${\displaystyle M'\ni G}$라면, ${\displaystyle M[G]\subseteq M'}$이다.

즉, ${\displaystyle M[G]}$는 ${\displaystyle G}$와 ${\displaystyle M}$을 포함하는 최소의 ZFC 추이적 모형이다.

이에 대하여 티머시 이청 차우(영어: Timothy Yi-Chung Chow)는 다음과 같이 적었다.

“	강제법의 기본 정리에 따르면, 매우 일반적인 조건 아래, ZFC 공리들을 만족시키는 수학적 구조 ${\displaystyle M}$에 새 원소 ${\displaystyle U}$를 추가하여, ZFC를 여전히 만족시키는 더 큰 구조 ${\displaystyle M[U]}$를 만들 수 있다. 개념적으로, 이 과정은 환 ${\displaystyle R}$에 새 원소 ${\displaystyle X}$를 추가하여 더 큰 환 ${\displaystyle R[X]}$를 만드는 과정에 비유할 수 있다. 그러나 ${\displaystyle M[U]}$의 구성이 훨씬 더 복잡한 이유는 ZFC의 공리계가 환의 공리계보다 훨씬 더 복잡하기 때문이다. The fundamental theorem of forcing is that, under very general conditions, one can indeed start with a mathematical structure ${\displaystyle M}$ that satisfies the ZFC axioms, and enlarge it by adjoining a new element ${\displaystyle U}$ to obtain a new structure ${\displaystyle M[U]}$ that also satisfies ZFC. Conceptually, this process is analogous to the process of adjoining a new element ${\displaystyle X}$ to, say, a given ring ${\displaystyle R}$ to obtain a larger ring ${\displaystyle R[X]}$. However, the construction of ${\displaystyle M[U]}$ is a lot more complicated because the axioms of ZFC are more complicated than the axioms for a ring.	”
	— [2]^:26, §2

강제성 관계의 성질

${\displaystyle M}$이 ZFC의 추이적 모형이며, ${\displaystyle P\in M}$이며, ${\displaystyle G}$가 ${\displaystyle P}$ 위의 포괄적 순서 아이디얼이라고 하자. 그렇다면 다음을 보일 수 있다. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{P}}$의 (자유 변수가 없는) 명제 ${\displaystyle \phi }$에 대하여,

• ${\displaystyle M[G]\models \phi \iff M\models (\exists p\in G\colon p\Vdash ^{*}\phi )}$.^{[6]:200, Theorem VII.3.6(2)} 즉, ${\displaystyle M[G]}$에서 어떤 명제가 참이려면, 그러할 이유(즉, 명제를 강제하는 ${\displaystyle p\in P}$)가 존재해야 한다.
• (내적 정의 가능성) 임의의 문장 ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}_{P})}$에 대하여, ${\displaystyle p\Vdash \phi \iff M\models \left(p\Vdash ^{*}\phi \right)}$^{[6]:200, Theorem VII.3.6(1)}
• (일관성) ${\displaystyle p\mapsto \{\phi \in {\mathcal {L}}_{P}\colon p\Vdash \phi \}}$는 순서 보존 함수 ${\displaystyle P\to ({\mathcal {P}}({\mathcal {L}}_{P}),\subseteq )}$를 정의한다.^{[6]:194, Lemma 3.2(a)} 즉, ${\displaystyle p\Vdash \phi }$이며 ${\displaystyle p\lesssim q}$라면 ${\displaystyle q\Vdash \phi }$이다.

이 핵심적인 성질들을 사용하여 각종 성질을 만족시키는 강제법 모형을 구성할 수 있다.

이에 대하여 케네스 쿠넌은 다음과 같이 설명하였다.

“	${\displaystyle M}$에 사는 사람들은 ${\displaystyle M}$ 속에서 ${\displaystyle P}$-포괄적 ${\displaystyle G}$를 구성할 수 없다. 이들은 신앙으로서 그들의 세계 ${\displaystyle M}$이 가산적으로 보이는 존재가 존재한다는 것을 믿을 수 있다. 이러한 존재에게는 포괄적 ${\displaystyle G}$가 존재한다. ${\displaystyle M}$에 사는 사람들은 ${\displaystyle G}$와 ${\displaystyle \textstyle f_{G}=\bigcup G}$가 무엇인지 알지 못하지만, 이들의 이름이 무엇인지는 알고 있다. 또한, 이들은 ${\displaystyle G}$와 ${\displaystyle f_{G}}$가 만족시키는 일부 성질들을 알아낼 수 있다. 보다 일반적으로, 이들은 소위 강제법 언어 — 즉, 강제법 언어의 문장 ${\displaystyle \psi }$는 ${\displaystyle M^{\mathbb {P} }}$의 이름들을 사용한다 —를 사용하여 ${\displaystyle M[G]}$에 대한 뭔가를 말할 수 있다. ${\displaystyle M}$에 사는 사람은 주어진 ${\displaystyle \psi }$가 ${\displaystyle M[G]}$에서 참인지 알지 못할 수 있다. ${\displaystyle M[G]}$에서 ${\displaystyle \psi }$가 참인지, 거짓인지 여부는 일반적으로 ${\displaystyle G}$에 의존한다. People living in ${\displaystyle M}$ cannot construct a ${\displaystyle G}$ which is ${\displaystyle \mathbb {P} }$-generic over ${\displaystyle M}$. They may believe on faith that there exists a being to whom their universe, ${\displaystyle M}$, is countable. Such a being will have a generic ${\displaystyle G}$ and an ${\displaystyle \textstyle f_{G}=\bigcup G}$. The people in ${\displaystyle M}$ do not know what ${\displaystyle G}$ and ${\displaystyle \textstyle f_{G}=\bigcup G}$ are but they have names for them […]. They may also […] figure out certain properties of ${\displaystyle G}$ and ${\displaystyle f_{G}}$. […] More generally, they can construct a forcing language, where a sentence ${\displaystyle \psi }$ of the forcing language uses the names in ${\displaystyle M^{\mathbb {P} }}$ to assert something about ${\displaystyle M[G]}$ […]. The person in ${\displaystyle M}$ may not know whether a given ${\displaystyle \psi }$ is true in ${\displaystyle M[G]}$. The truth or falsity of ${\displaystyle \psi }$ in ${\displaystyle M[G]}$ will in general depend on ${\displaystyle G}$.	”
	— [6]^:193, §VII.3

기수의 보존

순서수의 개념은 절대적이다. 즉, 모형 속의 순서수의 개념은 모형 밖의 순서수의 개념과 일치한다. 그러나 기수의 개념(즉, 어떤 순서수가 기수인지 여부)은 절대적이지 않으며, 모형 ${\displaystyle M}$의 기수가 ${\displaystyle M[G]}$에서는 기수가 아닌 순서수일 수 있다.

ZFC의 추이적 모형 ${\displaystyle M}$ 및 ${\displaystyle P\in M}$ 및 ${\displaystyle P}$ 위의 원순서 ${\displaystyle \lesssim }$가 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, ${\displaystyle P}$가 ${\displaystyle M}$의 기수를 보존한다(영어: preserves cardinals of ${\displaystyle M}$)고 한다.^{[6]:206, Definition VII.5.6}

• 임의의 포괄적 순서 아이디얼 ${\displaystyle G\subseteq P}$ 및 순서수 ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Ord} \cap M}$에 대하여, ${\displaystyle M\models (\alpha \in \operatorname {Card} )\iff M[G]\models (\alpha \in \operatorname {Card} )}$이다.

만약 다음 조건이 성립한다면, ${\displaystyle P}$가 ${\displaystyle M}$의 공종도를 보존한다(영어: preserves cofinalities in ${\displaystyle M}$)고 한다.^{[6]:206, Definition VII.5.6}

• 임의의 포괄적 순서 아이디얼 ${\displaystyle G\subseteq P}$ 및 두 순서수 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \operatorname {Ord} \cap M}$에 대하여, ${\displaystyle M\models (\operatorname {cf} \alpha =\beta )\iff M[G]\models (\operatorname {cf} \alpha =\beta )}$이다. (여기서 ${\displaystyle \operatorname {cf} }$는 순서수의 공종도를 뜻한다.)

그렇다면, 임의의 ${\displaystyle P\in M}$에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.^{[6]:207, Lemma VII.5.8, Theorem VII.5.10}

(${\displaystyle M\models }$(${\displaystyle P}$는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다)) ⇒ ${\displaystyle P}$는 ${\displaystyle M}$의 공종도를 보존한다 ⇒ ${\displaystyle P}$는 ${\displaystyle M}$의 기수를 보존한다

예

무작위 강제법

${\displaystyle (P,\leq )=(\operatorname {Bor} ([0,1]),\supseteq )}$라고 하자. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {Bor} ([0,1])}$은 단위 구간 ${\displaystyle [0,1]}$ 위의, 르베그 측도가 양수인 보렐 집합들의 집합족이다. ${\displaystyle (P,\leq )}$는 최소 원소 ${\displaystyle [0,1]}$을 갖는 부분 순서 집합이다.

이 경우, 포괄적 필터 ${\displaystyle G}$는 ${\displaystyle {\mathcal {P}}([0,1])}$ 속의 필터 기저로서 어떤 실수 ${\displaystyle r}$로 수렴하게 된다.

${\displaystyle \lim G=r\in [0,1]\setminus V}$

이 경우, ${\displaystyle V[r]}$는 무작위 강제법(영어: random forcing)이라고 한다.

코언 강제법

 이 부분의 본문은 부분 정의 함수입니다.

기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )}$가 정의역의 크기가 ${\displaystyle \kappa }$ 미만인 부분 정의 함수 ${\displaystyle X\to Y}$들의 부분 순서 집합이라고 하자. 그렇다면, 이 부분 순서 집합에 대한 강제법을 코언 강제법(영어: Cohen forcing)이라고 하며, 이를 사용하여 연속체 가설의 독립성을 보일 수 있다.

응용

강제법을 사용하여, 집합론의 여러 명제들이 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이라는 것을 보일 수 있다. 연속체 가설이나 구성 가능성 공리가 그 대표적인 예이다. 또한 강제법과 내부 모형을 이용하면 선택 공리의 독립성 또한 보일 수 있다.

계산 가능성 이론에서도 강제법이 응용된다.

역사

폴 코언이 ZFC에서 연속체 가설의 독립성을 증명하기 위해 1963년에 도입하였다.^{[8][9][10][11][12]} 코언이 사용한 기법은 구성 가능 위계를 핵심적으로 사용하였고, 오늘날 분기 강제법(分岐強制法, 영어: ramified forcing)이라고 불린다.

이후 데이나 스콧과 로버트 솔로베이가 완비 불 대수를 사용하여 구성 가능 위계를 사용하지 않는 기법을 개발하였으나, 출판하지 않았다.^{[13]:163, §7} 이 기법은 조지프 로버트 숀필드가 정리하여 비분기 강제법(非分岐強制法, 영어: unramified forcing)이라는 이름으로 1971년에 출판하였다.^[7] 비분기 강제법이 더 간편하므로, 오늘날 "강제법"이라는 용어는 통상적으로 후자를 일컫게 되었다.

1971년에 로버트 솔로베이와 스탠리 테넨바움은 수슬린 가설의 독립성을 보이기 위하여 반복 강제법을 도입하였다.^[14]

같이 보기

• 이름 (강제법)

각주

1. Jech, Thomas (2008년 6월). “What is … forcing?” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 55 (6): 692–693. Zbl 1194.03001. 
2. Chow, Timothy Y. (2009). 〈A beginner’s guide to forcing〉. Chow, Timothy Y.; Isaksen, Daniel C. 《Communicating mathematics: a conference in honor of Joseph A. Gallian’s 65th birthday, July 16–19, 2007, University of Minnesota, Duluth, Minnesota》. Contemporary Mathematics (영어) 479. 25–40쪽. arXiv:0712.1320. Bibcode:2007arXiv0712.1320C. doi:10.1090/conm/479/09340. MR 2513355. Zbl 1183.03037. 
3. Easwaran, Kenny (2007). “A cheerful introduction to forcing and the continuum hypothesis” (영어). arXiv:0712.2279. Bibcode:2007arXiv0712.2279E. 
4. Weaver, Nik (2014년 4월). 《Forcing for mathematicians》 (영어). World Scientific. doi:10.1142/8962. ISBN 978-981-4566-00-1. Zbl 1295.03001. 
5. Dehornoy, Patrick (2007년 9월 13일). 〈Au-delà du forcing: la notion de vérité essentielle en théorie des ensembles〉. Joinet, Jean-Baptiste. 《Logique, dynamique et cognition》. Logique, langage, sciences, philosophie (프랑스어). Publications de la Sorbonne. 147–170쪽. ISBN 978-2-85944-584-3. ISSN 1956-0451. 2016년 7월 2일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 8월 5일에 확인함. 
6. Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) 102. North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8. MR 597342. Zbl 0534.03026. 2016년 9월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 7일에 확인함. 
7. Shoenfield, Joseph Robert (1971). 〈Unramified forcing〉 (PDF). Scott, Dana S. 《Axiomatic set theory》. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (영어) 13.1. American Mathematical Society. 357–381쪽. doi:10.1090/pspum/013.1/0280359. ISBN 978-0-8218-0245-8. MR 0280359. Zbl 0245.02056. 
8. Cohen, Paul J. (1963년 12월 15일). “The independence of the continuum hypothesis”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 50 (6): 1143–1148. doi:10.1073/pnas.50.6.1143. ISSN 0027-8424. JSTOR 71858. MR 157890. PMC 221287. PMID 16578557. Zbl 0192.04401. 
9. Cohen, Paul J. (1964년 1월 15일). “The independence of the continuum hypothesis II”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 51 (1): 105–110. doi:10.1073/pnas.51.1.105. ISSN 0027-8424. JSTOR 72252. MR 159745. PMC 300611. PMID 16591132. Zbl 0192.04401. 
10. Cohen, Paul J. (2002). “The discovery of forcing”. 《Rocky Mountain Journal of Mathematics》 (영어) 32 (4): 1071–1100. doi:10.1216/rmjm/1181070010. MR 1987595. Zbl 1040.03037. 
11. Hersh, Reuben (2011년 7월 21일). “Paul Cohen and forcing in 1963”. 《The Mathematical Intelligencer》 (영어) 33 (3): 138–140. doi:10.1007/s00283-011-9241-4. ISSN 0343-6993. Zbl 1230.03006. 
12. Kanamori, Akihiro (2008년 9월). “Cohen and set theory” (PDF). 《The Bulletin of Symbolic Logic》 (영어) 14 (3): 351–378. doi:10.2178/bsl/1231081371. ISSN 1079-8986. Zbl 1174.03001. 
13. Moore, Gregory H. (1987). 〈The origins of forcing〉. Drake, F. R.; Truss, J. K. 《Logic colloquium ’86. Proceedings of the colloquium held in Hull, U.K., 13–19 July 1986》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) 124. 143–173쪽. doi:10.1016/S0049-237X(09)70656-1. ISBN 978-0-444-70326-2. Zbl 0655.03034. 
14. Solovay, Robert M.; Tennenbaum, Stanley (1971). “Iterated Cohen extensions and Souslin’s problem”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 94 (2): 201–245. doi:10.2307/1970860. JSTOR 1970860. MR 0294139. Zbl 0244.02023. 

외부 링크

• “Forcing method”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Forcing”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Forcing”. 《nLab》 (영어). 
• “What is the generic poset used in forcing, really?” (영어). Math Overflow. 
• “Is the forcing relation defined for mathematical formulas?” (영어). Math Overflow. 
• “Dropping “generic” from the definition of forcing” (영어). Math Overflow.  지원되지 않는 변수 무시됨: |urll= (도움말); |url=이 없거나 비었음 (도움말)