디바이 모형

응집물질물리학에서 디바이 모형(Debye model)은 결정의 비열을 포논을 사용하여 다루는 모형이다.

역사

피터 디바이가 1912년에 발표하였다.^[1]

전개

부피가 ${\displaystyle V}$이고, ${\displaystyle N}$개의 입자로 이루어져 있는 결정을 생각하자. 결정 속 포논이 다음과 같은 선형 분산 관계를 가진다고 하자.

${\displaystyle E=\hbar v\|\mathbf {k} \|}$.

여기서 ${\displaystyle \hbar }$는 디랙 상수, ${\displaystyle v}$는 결정 속 음속, ${\displaystyle \mathbf {k} }$는 포논의 파수 벡터이다. (물론 실제 포논의 분산 관계는 비선형이지만, ${\displaystyle E}$가 매우 작은 경우에는 분산 관계를 대략 선형으로 간주할 수 있다.)

결정의 크기가 ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{V}}}$이므로, 정상파 파수는 다음과 같다.

${\displaystyle k_{i}=\pi n_{i}/{\sqrt[{3}]{V}}}$ (${\displaystyle n=1,2,3,4,\dots ,{\sqrt[{3}]{N}}}$. ${\displaystyle i=1,2,3}$).

포논은 보스-아인슈타인 통계를 따르고, 화학 퍼텐셜이 0이다 (즉, 퓨가시티가 1이다). 따라서 포논 기체의 큰 바른틀 분배 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle \ln \Xi (\beta )=-\sum _{n_{1}=1}^{\sqrt[{3}]{N}}\sum _{n_{2}=1}^{\sqrt[{3}]{N}}\sum _{n_{3}=1}^{\sqrt[{3}]{N}}3\ln \left(1-\exp(-\beta hv{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}/2{\sqrt[{3}]{L}})\right)}$.

(여기서 ${\displaystyle 3}$은 포논의 자유도의 수이다.)

합을 토머스-페르미 근사로 쓰면 같다.

${\displaystyle \ln \Xi (\beta )=-3\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\ln \left(1-\exp(-\beta hv\|\mathbf {n} \|/2{\sqrt[{3}]{L}})\right))\;d^{3}\mathbf {n} }$

${\displaystyle \approx -{\frac {3\pi }{2}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{6N/\pi }}n^{2}\ln \left(1-\exp(-\beta hvn/2{\sqrt[{3}]{L}})\right)\;dn}$

${\displaystyle =-9N\int _{0}^{1}x^{2}\ln \left(1-\exp(-x(T_{\text{D}}/T))\right)\;dx}$.

여기서

${\displaystyle T_{\text{D}}={\frac {hv}{k}}{\sqrt[{3}]{3N/4\pi V}}}$

를 디바이 온도(Debye temperature)라고 하고, 이에 대응하는 주파수

${\displaystyle \nu _{\text{D}}=v{\sqrt[{3}]{3N/4\pi V}}}$

를 디바이 주파수(Debye frequency)라고 한다.

디바이 결정의 에너지와 열용량

디바이 모형과 아인슈타인 모형이 예측하는 열용량. 실선은 디바이 모형, 점선은 아인슈타인 모형이다. 높은 온도에서는 두 모형 모두 뒬롱-프티 법칙(붉은 점선)에 부합하는 것을 볼 수 있다.

디바이 결정의 에너지는

${\displaystyle E=-{\frac {\partial }{\partial \beta }}\ln \Xi }$

${\displaystyle =9NkT_{\text{D}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}}{\exp(x(T_{\text{D}}/T))-1}}\;dx}$

${\displaystyle ={\frac {9NkT^{4}}{T_{\text{D}}^{3}}}\int _{0}^{T_{\text{D}}/T}{\frac {y^{3}}{\exp y-1}}\;dy}$

이고, 그 비열용량은

${\displaystyle c={\frac {1}{Nk}}{\frac {dE}{dT}}}$

${\displaystyle =9T_{\text{D}}^{2}\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\exp(x(T_{\text{D}}/T))}{T^{2}(\exp(x(T_{\text{D}}/T))-1)^{2}}}\;dx}$

${\displaystyle =9(T/T_{\text{D}})^{3}\int _{0}^{T_{\text{D}}/T}{\frac {y^{4}\exp y}{(\exp y-1)^{2}}}\;dy}$

이다.

같이 보기

• 보스 기체
• 그뤼나이젠 상수

각주

1. Debye, Peter (1912). “Zur Theorie der spezifischen Wärmen”. 《Annalen der Physik》 344 (14): 789–839. doi:10.1002/andp.19123441404.