비트 환

이 문서는 이차 형식의 동치류로 구성된 가환환에 관한 것입니다. 비트 벡터로 구성된 가환환에 대해서는 비트 벡터 문서를 참고하십시오.

이차 형식 이론에서, 비트 환(Witt環, 영어: Witt ring)은 비퇴화 이차 형식의 동치류로 구성된 가환환이다.

정의

비트 분해

비트 분해 정리(Witt分解定理, 영어: Witt decomposition theorem)에 따르면, 표수가 2가 아닌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 이차 형식 ${\displaystyle Q}$는 다음과 같은 꼴로 표준적으로 분해된다.^{[1]:12, Theorem 4.1}

${\displaystyle (V,Q)=(V_{0},0)\oplus (V_{1},Q_{1})\oplus (V_{2},Q_{2})}$

여기서 각 성분은 다음과 같다.

• ${\displaystyle (V_{0},0)}$은 이차 형식이 0인 이차 공간이다.
• ${\displaystyle (V_{1},Q_{1})}$은 비등방성 이차 공간(영어: anisotropic quadratic space)이다. 즉, ${\displaystyle V_{1}}$ 속에서 ${\displaystyle Q_{1}(v)=0}$인 벡터 ${\displaystyle v\in V_{1}}$은 ${\displaystyle v=0}$뿐이다. 특히, ${\displaystyle Q_{1}}$은 비퇴화 이차 형식이다.
• ${\displaystyle (V_{2},Q_{2})}$는 분해 이차 공간(영어: split quadratic space)이다. 즉, ${\displaystyle Q_{2}}$는 비퇴화 이차 형식이며, ${\displaystyle \dim _{K}V_{2}=2n}$는 짝수이며, ${\displaystyle V_{2}}$ 속에서 ${\displaystyle Q_{2}|_{W}=0}$인 ${\displaystyle n}$차원 부분 공간 ${\displaystyle W\subseteq V_{2}}$이 존재한다.

이 경우 ${\displaystyle (V_{1},Q_{1})}$을 ${\displaystyle (V,Q)}$의 핵심(核心, 영어: core)이라고 한다. 또한, ${\displaystyle \dim _{K}(V_{1}\oplus V_{2})}$를 ${\displaystyle Q}$의 계수(階數, 영어: rank)라고 하며, ${\displaystyle (\dim _{K}V_{2})/2}$를 ${\displaystyle Q}$의 비트 지표(영어: Witt index)라고 한다.^[2]:58 비트 정리에 따라, ${\displaystyle Q|_{W}=0}$이 되는 부분 벡터 공간들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합에서, 극대 원소들의 차원은 항상 비트 지표와 같다.

비트 환

같은 체 위의 두 이차 공간 ${\displaystyle (V,Q)}$, ${\displaystyle (V',Q')}$의 핵심이 서로 동형이라면, 두 이차 공간이 서로 비트 동치(영어: Witt-equivalent)라고 한다. 표수가 2가 아닌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 비퇴화 유한 차원 이차 공간들의 비트 동치류들의 집합 ${\displaystyle \operatorname {Witt} (K)}$을 생각하자. 여기에 다음과 같은 연산을 부여하면, 이는 가환환을 이룬다.

• ${\displaystyle (V,Q)+(V',Q')=(V\oplus V',Q\oplus Q')}$. ${\displaystyle \oplus }$는 벡터 공간(및 그 위의 함수)의 직합이다.
• ${\displaystyle -(V,Q)=(V,-Q)}$
• ${\displaystyle 0=(K^{0},0)}$. 여기서 ${\displaystyle K^{0}}$는 ${\displaystyle K}$ 위의 0차원 벡터 공간이다.
• ${\displaystyle (V,Q)\cdot (V',Q')=(V\otimes V',Q\otimes Q')}$ ${\displaystyle \otimes }$는 벡터 공간 (및 그 위의 함수)의 텐서곱이다.
• ${\displaystyle 1=(K^{1},x\mapsto x^{2})}$

이 가환환을 ${\displaystyle K}$의 비트 환이라고 한다.

성질

계수와 행렬식

같은 비트 동치류에 속하는 이차 공간들의 계수들은 모두 짝수이거나 모두 홀수이므로, 비트 환은 자연스러운 환 준동형

${\displaystyle (\dim {\bmod {2}})\colon \dim \colon \operatorname {Witt} (K)\to \mathbb {Z} /(2)}$

을 갖는다. (곱셈 항등원은 홀수 계수이므로, 이는 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-등급환을 이루지 않는다.) 이 준동형의 핵 ${\displaystyle {\mathfrak {i}}(K)=\ker(\dim {\bmod {2}})\subseteq \operatorname {Witt} (K)}$을 비트 환의 기본 아이디얼(영어: fundamental ideal)이라고 한다.

표수가 2가 아닌 체 위의 비퇴화 이차 형식 ${\displaystyle Q}$의 행렬식(영어: determinant) 또는 판별식(영어: discriminant) ${\displaystyle \det Q\in K^{\times }/(K^{\times })^{2}}$은 ${\displaystyle Q}$를 나타내는 대칭 행렬 ${\displaystyle Q(x)=x^{\top }Mx}$의 행렬식 ${\displaystyle \det M}$의 ${\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{2}}$에서의 동치류이다. 이 경우, 사용하는 기저를 가역 행렬 ${\displaystyle A}$를 통해 바꾼다면

${\displaystyle AM'A=M}$

${\displaystyle (\det M')(\det A)^{2}=\det M}$

가 되므로, 비퇴화 이차 형식의 행렬식은 ${\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{2}}$의 원소로서 잘 정의된다.

표수가 2가 아닌 체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 다음과 같은 가환환 ${\displaystyle \operatorname {GrQExt} (K)}$를 정의하자.

${\displaystyle \operatorname {GrQExt} (K)=\left\{(d,e)\colon d\in K^{\times }/(K^{\times })^{2},\;e\in \mathbb {Z} /(2)\right\}}$

${\displaystyle (d,e)+(d',e')=\left((-1)^{ee'}dd',e+e'\right)}$

${\displaystyle (d,e)(d',e')=(d^{e'}d'^{e},ee')}$

즉, ${\displaystyle \operatorname {GrQExt} (K)}$의 원소는 ${\displaystyle K}$의 ${\displaystyle \mathbb {Z} /(2)}$-등급 이차 확대의 동치류로 구성된다고 생각할 수 있다.^[1]:113

그렇다면, 다음과 같은 자연스러운 환 준동형이 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {Witt} (K)\to \operatorname {GrQExt} (K)}$

${\displaystyle (V,Q)\mapsto (\det Q,\dim _{K}V{\bmod {2}})}$

이는 전사 함수이며, 그 핵은 기본 아이디얼의 제곱이다.^[3]:12

하세-비트 불변량

표수가 2가 아닌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle n}$차원 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 대각화된 비퇴화 이차 형식 ${\displaystyle Q=\operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$가 주어졌을 때, 사원수형 대수 (2차원 벡터 공간 위의 클리퍼드 대수) ${\displaystyle \left({\tfrac {a_{i},a_{j}}{K}}\right)}$들은 (짝수 차원이므로) 중심 단순 대수를 이루며, 따라서 브라우어 군 ${\displaystyle \operatorname {Br} (K)}$의 원소들의 대표원들을 이룬다. ${\displaystyle Q}$의 하세-비트 불변량(영어: Hasse–Witt invariant)은 이 브라우어 군 원소들의 합이다.

${\displaystyle \epsilon (V,Q)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}\left[\left({\frac {a_{i},a_{j}}{K}}\right)\right]\in \operatorname {Br} (K)}$

이는 ${\displaystyle Q}$의 대각화에 의존하지 않으며, 따라서 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식의 불변량을 이룬다. 또한, 이는 비트 동치류 위의 유함수를 이루며, 따라서 비트 동치류의 불변량을 이룬다.

밀너 환과의 관계

표수가 2가 아닌 체 ${\displaystyle K}$의 비트 환 ${\displaystyle \operatorname {Witt} (K)}$의 기본 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {i}}(K)\subseteq \operatorname {Witt} (K)}$의 거듭제곱들은 하강 여과를 이룬다.

${\displaystyle \operatorname {Witt} (K)={\mathfrak {i}}(K)^{0}\supseteq {\mathfrak {i}}(K)^{1}\supseteq {\mathfrak {i}}(K)^{2}\supseteq {\mathfrak {i}}(K)^{3}\supseteq \cdots }$

이에 대응되는 ${\displaystyle \mathbb {N} }$-등급환

${\displaystyle R(K)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}(K)}$

${\displaystyle R_{n}(K)={\mathfrak {i}}(K)^{n}/{\mathfrak {i}}(K)^{n+1}}$

을 정의할 수 있다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 피스터 이차 형식(영어: Pfister quadratic form)은 다음과 같은 꼴의, ${\displaystyle 2^{n}}$차원 벡터 공간 위의 이차 형식이다.

${\displaystyle \operatorname {diag} (1,-a_{1})\otimes _{K}\operatorname {diag} (1,-a_{2})\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}\operatorname {diag} (1,-a_{n})}$

${\displaystyle i(K)^{n}}$의 원소들은 모두 유한 개의 ${\displaystyle 2^{n}}$차원 피스터 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다.^[1]:316

체 ${\displaystyle K}$의 밀너 환

${\displaystyle \operatorname {K} ^{\operatorname {M} }(K)={\frac {\operatorname {T} (K^{\times };\mathbb {Z} )}{(a\otimes (1-a))_{a\in K\setminus \{0,1\}}}}}$

의 원소를 ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}\in \operatorname {K} _{n}^{\operatorname {M} }(K)}$로 표기하자. 그렇다면, 피스터 형식을 통해 밀너 환에서 위 등급환으로 가는 등급환 준동형을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {K} _{\bullet }^{\operatorname {M} }(K)\to R_{\bullet }(K)}$

${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{n}\}\mapsto \operatorname {diag} (1,-a_{1})\otimes _{K}\operatorname {diag} (1,-a_{2})\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}\operatorname {diag} (1,-a_{n})}$

이차 형식에 대한 밀너 추측(영어: Milnor conjecture on quadratic forms)에 따르면, 이 준동형은 등급환의 동형을 이룬다. 이는 존 밀너가 추측하였으며,^[4] 2007년에 드미트리 오를로프(러시아어: Дми́трий Орло́в) · 알렉산드르 비시크(러시아어: Алекса́ндр Вишик) · 블라디미르 보예보츠키가 증명하였다.^[5]

예

복소수체

${\displaystyle K}$가 표수가 2가 아닌 이차 폐체(영어: quadratically closed field, 모든 원소가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어, ${\displaystyle K}$가 복소수체이거나, 표수가 2가 아닌 체의 대수적 폐포인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간 ${\displaystyle K^{n}}$ 위의 이차 형식은 그 계수 ${\displaystyle r}$에 따라서 완전히 분류된다.

${\displaystyle K}$ 위의 계수가 2 이상인 이차 형식은 항상 등방성 벡터를 갖는다. 따라서, ${\displaystyle K}$ 위의 이차 형식의 핵심은 항상 0차원이거나 1차원이다. 이에 따라, ${\displaystyle K}$의 비트 환은 ${\displaystyle \mathbb {Z} /(2)}$이다.^[1]:34

대수적으로 닫힌 체의 브라우어 군은 자명하므로, 이 경우 하세-비트 불변량 역시 자명하다.

실수체

${\displaystyle (K,\leq )}$가 에우클레이데스 체(영어: Euclidean field, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어, ${\displaystyle K}$가 실수체 ${\displaystyle \mathbb {R} }$이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.)

${\displaystyle K}$의 비트 환은 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$와 동형이다.^[1]:34

${\displaystyle \operatorname {Witt} (K)\cong \mathbb {Z} }$

이 동형은 구체적으로 다음과 같다.

• 계수 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$의 양의 정부호 형식은 ${\displaystyle n}$에 대응한다.
• 계수 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$의 음의 정부호 형식은 ${\displaystyle -n}$에 대응한다.
• 0차원의 벡터 공간 위의 형식은 ${\displaystyle 0}$에 대응한다.

실수체의 브라우어 군은 실수체와 사원수환 ${\displaystyle \mathbb {H} }$로 구성되며, 2차 순환군이다.

${\displaystyle \operatorname {Br} \mathbb {R} =\{\mathbb {R} ,\mathbb {H} \}\cong \operatorname {Cyc} (2)}$

이 경우 힐베르트 기호가

${\displaystyle \left({\frac {a,b}{\mathbb {R} }}\right)={\begin{cases}-1&\max\{a,b\}<0\\+1&\max\{a,b\}>0\\\end{cases}}}$

이므로, 유한 차원 실수 벡터 공간 위의 부호수 ${\displaystyle (n_{+},n_{-})}$의 비퇴화 이차 형식 ${\displaystyle Q}$의 하세-비트 불변량은

${\displaystyle \epsilon (Q)=(-1)^{s(s-1)/2}}$

이다.

국소체

비아르키메데스 국소체 ${\displaystyle K}$의 대수적 정수환의 잉여류체의 크기가 ${\displaystyle q}$라고 하고, ${\displaystyle q}$가 홀수라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle K}$의 비트 환은 다음과 같다.^[1]:152

${\displaystyle \operatorname {Witt} (K)\cong {\begin{cases}\left(\mathbb {Z} /(2)\right)[\operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)]&q\equiv 1{\pmod {4}}\\\left((\mathbb {Z} /(4)\right)[\operatorname {Cyc} (2)]&q\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}$는 2차 순환군이며, ${\displaystyle R[G]}$는 군환을 뜻한다.

유리수체

유리수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$의 비트 환의 크기는 32이며, 다음과 같다.^[1]:166

${\displaystyle W(\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /(8))[s,t]/(2s,2t,s^{2},t^{2},st-4)}$

홀수 표수의 유한체

표수가 2가 아닌 유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ 위의 벡터 공간 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{n}}$ 위의 이차 형식의 동치류는 총 ${\displaystyle 2n+1}$개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식인 것은 두 개이다.

이들은 구체적으로 다음과 같다. ${\displaystyle a\in \mathbb {F} _{q}}$가 제곱수가 아닌 임의의 수라고 하자.

${\displaystyle \nexists b\in \mathbb {F} _{q}\colon b^{2}=a}$

이러한 수는 항상 존재한다. 그렇다면, 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 대칭 쌍선형 형식)은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다.

${\displaystyle Q_{1}^{(n)}=\operatorname {diag} (1,\dots ,1,1)}$

${\displaystyle Q_{2}^{(n)}=\operatorname {diag} (1,\dots ,1,a)}$

즉, 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle Q_{1}^{(n)}(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$

${\displaystyle Q_{2}^{(n)}(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +ax_{n}^{2}}$

만약 ${\displaystyle n}$이 홀수라면, ${\displaystyle Q_{2}^{(n)}}$는 ${\displaystyle \alpha Q_{1}^{(n)}}$과 동치이다.^[2]:69 이 경우 비트 지표는 ${\displaystyle Q_{1}^{(n)}}$, ${\displaystyle Q_{2}^{(n)}}$ 둘 다 ${\displaystyle (n-1)/2}$이다.

만약 ${\displaystyle n}$이 짝수라면, ${\displaystyle Q_{1}^{(n)}}$은 ${\displaystyle \alpha Q_{1}^{(n)}}$과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.^[2]:59

• ${\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}}$이며 ${\displaystyle q\equiv 3{\pmod {4}}}$인 경우, ${\displaystyle Q_{1}^{(n)}}$의 비트 지표는 ${\displaystyle n/2-1}$이며 ${\displaystyle Q_{2}^{(n)}}$의 비트 지표는 ${\displaystyle n/2}$이다.
• ${\displaystyle n\equiv 0{\pmod {4}}}$이거나 또는 ${\displaystyle q\equiv 1{\pmod {4}}}$인 경우, ${\displaystyle Q_{1}^{(n)}}$의 비트 지표는 ${\displaystyle n/2}$이며 ${\displaystyle Q_{2}^{(n)}}$의 비트 지표는 ${\displaystyle n/2-1}$이다.

이 경우, 비트 지표가 ${\displaystyle n/2}$인 경우를 플러스형(영어: plus-type), ${\displaystyle n/2-1}$인 경우를 마이너스형(영어: minus-type)이라고 한다.^[2]:59

비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다.

${\displaystyle \operatorname {diag} (1,\dots ,1,1,0,\dots ,0)}$

${\displaystyle \operatorname {diag} (1,\dots ,1,a,0,\dots ,0)}$

홀수 차수 유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$의 비트 환의 크기는 4이며, 이는 ${\displaystyle q}$에 따라 구체적으로 다음과 같다.^[1]:37

${\displaystyle W(\mathbb {F} _{q})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} /(4)&q\equiv 3{\pmod {4}}\\\mathbb {F} _{2}[\mathbb {F} _{q}^{\times }/(\mathbb {F} _{q}^{\times })^{2}]&q\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}}$

이 동형은 구체적으로 다음과 같다.

${\displaystyle q\equiv 3{\pmod {4}}}$인 경우

${\displaystyle \mathbb {Z} /(4)}$	0	1	2	3
${\displaystyle W(\mathbb {F} _{q})}$	${\displaystyle Q_{1}^{(0)}}$	${\displaystyle Q_{1}^{(1)}}$	${\displaystyle Q_{1}^{(2)}}$	${\displaystyle Q_{2}^{(1)}}$

${\displaystyle q\equiv 1{\pmod {4}}}$인 경우

${\displaystyle \mathbb {F} _{2}[x]/(x^{2})}$	0	1	x	1+x
${\displaystyle \operatorname {Witt} (\mathbb {F} _{q})}$	${\displaystyle Q_{1}^{(0)}}$	${\displaystyle Q_{1}^{(1)}}$	${\displaystyle Q_{2}^{(2)}}$	${\displaystyle Q_{2}^{(1)}}$

역사

에른스트 비트(1911~1991)는 1937년 하빌리타치온 논문^[6]에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 비트 환의 개념을 도입하였다.^[7]

각주

1. Lam, Tsit-Yuen (2005). 《Introduction to quadratic forms over fields》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023. 
2. Wilson, Robert (2009). 《The finite simple groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 251. Springer. doi:10.1007/978-1-84800-988-2. ISBN 978-1-84800-987-5. ISSN 0072-5285. 
3. Conner, P.E.; Perlis, R. (1984년 7월). 《A survey of trace forms of algebraic number fields》. Series in Pure Mathematics (영어) 2. World Scientific. doi:10.1142/0066. ISBN 978-9971-966-04-1. Zbl 0551.10017. 
4. Milnor, John (1970). “Algebraic K-theory and quadratic forms” (PDF). 《Inventiones Mathematicae》 (영어) 9: 318–344. doi:10.1007/BF01425486. ISSN 0020-9910. 2016년 2월 17일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 4월 5일에 확인함. 
5. Orlov, Dmitri; Vishik, Alexander; Voevodsky, Vladimir (2007). “An exact sequence for K_*^M/2 with applications to quadratic forms”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 165: 1–13. doi:10.4007/annals.2007.165.1. MR 2276765. Zbl 1124.14017. 
6. Witt, Ernst (1937). “Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 1937 (176): 31-44. doi:10.1515/crll.1937.176.31. ISSN 0075-4102. JFM 62.0106.02. Zbl 0015.05701. 
7. Scharlau, R. (2009). 〈Martin Kneser’s work on quadratic forms and algebraic groups〉 (PDF). Baeza, Ricardo; Chan, Wai Kiu; Hoffmann, Detlev W.; Schulze-Pillot, Rainer. 《Quadratic Forms—Algebra, Arithmetic, and Geometry: Algebraic and Arithmetic Theory of Qudratic Forms, December 13–19, 2007, Frutillar, Chile》. Contemporary Mathematics (영어) 493. American Mathematical Society. 339–357쪽. doi:10.1090/conm/493. ISBN 978-0-8218-4648-3. MR 2537110. 

외부 링크

• “Witt ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Witt decomposition”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Hasse invariant”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.