사사키 다양체

미분기하학에서 사사키 다양체([佐々木] 多樣體, 영어: Sasakian manifold)는 그 위에 정의된 뿔이 켈러 구조를 갖춘 접촉 다양체이다.

정의

${\displaystyle (M,g)}$가 리만 다양체라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle M}$의 리만 뿔(영어: Riemannian cone) ${\displaystyle ({\hat {M}},{\hat {g}})}$은 위상수학적으로 ${\displaystyle M\times \mathbb {R} }$이고, 다음과 같은 계량 텐서

${\displaystyle {\hat {g}}=\exp(2t)(g+dt^{2})}$

를 갖춘 리만 다양체다.

${\displaystyle (M,g,\theta )}$가 접촉 구조 ${\displaystyle \theta }$를 갖춘 리만 다양체라고 하자. ${\displaystyle M}$의 리만 뿔에는 다음과 같은 (국소적) 2차 미분형식이 존재한다.

${\displaystyle \exp(2t)(d\theta +2dt\wedge \theta )}$

만약 이 미분형식이 모든 곳에 정의되고 켈러 구조를 이룬다면 ${\displaystyle M}$을 사사키 다양체라고 한다.

관련 개념

사사키-아인슈타인 다양체(영어: Sasaki–Einstein manifold)는 그 리만 뿔이 칼라비-야우 다양체를 이루는 사사키 다양체이다.^[1]:671,676

3-사사키 다양체(영어: 3-Sasakian manifold)는 그 리만 뿔이 초켈러 다양체를 이루는 사사키 다양체이다.^[2] 모든 3-사사키 다양체는 사사키-아인슈타인 다양체이며, 스핀 구조를 갖춘다.

예

코니폴드는 (실수) 6차원 칼라비-야우 다양체인데, 이는 5차원 사사키-아인슈타인 다양체 T^1,1의 리만 뿔로 나타낼 수 있다. T^1,1은 위상수학적으로 S²×S³이고, SU(2)×SU(2)×U(1) 등거리변환군을 가진다.

2004년에는 Y^p,q라는 사사키-아인슈타인 다양체들이 발견되었다.^[3][1]:676 여기서 p와 q는 서로소 양의 정수이다. 이들은 위상수학적으로 S²×S³이고, SU(2)×U(1)×U(1) 등거리변환군을 가진다.

2005년에는 L^{p,q,r₁,…,r_n−1}이라는 (2n+1)차원 사사키-아인슈타인 다양체들이 발견되었다.^{[1]:676[4][5]} 5차원의 경우, 이들은 위상수학적으로 S²×S³이고, U(1)×U(1)×U(1) 등거리변환군을 가진다.

역사

1960년에 사사키 시게오(일본어: 佐々木 重夫)가 정의하였다.^[6][7][8]

각주

1. Becker, Katrin; Melanie Becker; John H. Schwarz (2006년 12월). 《String Theory and M-Theory: A Modern Introduction》 (영어). Cambridge University Press. Bibcode:2007stmt.book.....B. doi:10.2277/0511254865. ISBN 978-0511254864. 2015년 1월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 6월 29일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
2. Boyer, Charles P.; Krzysztof Galicki (1999). “3-Sasakian Manifolds”. 《Surveys in Differential Geometry》 (영어) 7: 123-184. arXiv:hep-th/9810250. Bibcode:1998hep.th...10250B. 
3. Gauntlett, Jerome P.; Dario Martelli; James Sparks; Daniel Waldram. “Sasaki-Einstein metrics on S²×S³” (영어). arXiv:hep-th/0403002. Bibcode:2004hep.th....3002G. 
4. Cvetič, Mirjam; Hong Lü; Don N. Page; C.N. Pope (2005). “New Einstein–Sasaki spaces in five and higher dimensions” (영어). arXiv:hep-th/0504225. Bibcode:2005PhRvL..95g1101C. doi:10.1103/PhysRevLett.95.071101. 
5. Cvetič, Mirjam; Hong Lü; Don N. Page; C.N. Pope (2009년 7월). “New Einstein-Sasaki and Einstein Spaces from Kerr–de Sitter”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 2009 (7): 82. arXiv:hep-th/0505223. Bibcode:2009JHEP...07..082C. doi:10.1088/1126-6708/2009/07/082. ISSN 1029-8479. 
6. Sasaki, Shigeo (1960). “On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure I”. 《Tôhoku Mathematical Journal》 12: 459–476. doi:10.2748/tmj/1178244407. ISSN 0040-8735. MR 0123263. 
7. Sasaki, Shigeo (1961). “On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure II”. 《Tôhoku Mathematical Journal》 13: 281–294. doi:10.2748/tmj/1178244304. ISSN 0040-8735. MR 0138065. 
8. O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. “Shigeo Sasaki”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교. 

참고 문헌

• Boyer, Charles P.; Krzysztof Galicki (2008년 1월 24일). 《Sasakian Geometry》 (영어). Oxford University Press. doi:10.1093/acprof:oso/9780198564959.001.0001. ISBN 978-0-19-856495-9. MR 2382957. 
• Martelli, Dario; James Sparks; Shing-Tung Yau (2008년 6월). “Sasaki–Einstein manifolds and volume minimisation”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 280 (3): 611–673. arXiv:hep-th/0603021. Bibcode:2008CMaPh.280..611M. doi:10.1007/s00220-008-0479-4. MR 2399609. 
• Sparks, James. “Sasaki–Einstein manifolds” (영어). arXiv:1004.2461. Bibcode:2010arXiv1004.2461S. MR 2893680. 
• Boyer, Charles P. (2008). “Sasakian geometry: the recent work of Krzysztof Galicki”. 《Note di Matematica》 (영어) 28 (Supplement 1): 63–105. arXiv:0806.0373. Bibcode:2008arXiv0806.0373B. doi:10.1285/i15900932v28n1supplp63. ISSN 1123-2536. MR 2640576. 
• 山崎雅人 (2007년 7월 22일). “トーリック佐々木-Einstein多様体の理論の最近の進展” (PDF) (일본어). 
• 기우항; 김영호 (2002). 《부분다양체론》. 대우학술총서 497. 서울: 아카넷. ISBN 978-89-89103-30-1. ^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}

외부 링크

• Bejancu, A. (2001). “Sasakian manifold”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.