정규화 부분군

군론에서 정규화 부분군(正規化部分群, 영어: normalizer 노멀라이저^[*])은 어떤 부분군을 정규 부분군으로 포함하는 가장 큰 부분군이다.

정의

모노이드 ${\displaystyle M}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq G}$의 정규화 부분 모노이드(영어: normalizer submonoid)는 다음과 같은, ${\displaystyle G}$의 부분 집합이다.^{[1]:30, Definition 1.68[2]:161, Definition 8.11[3]:AI.54, §AI.5.3}

${\displaystyle \operatorname {N} _{M}(S)=\{m\in M\colon mS=Sm\}}$

이는 ${\displaystyle M}$의 부분 모노이드를 이룬다.

사실, 임의의 모노이드 ${\displaystyle M}$의 부분 집합 ${\displaystyle S}$에 대하여 다음 두 집합 역시 각각 부분 모노이드를 이룬다.^{[4]:4–5, Lemma 2.1}

${\displaystyle \operatorname {LN} _{M}(S)=\{m\in M\colon mS\subseteq Sm\}}$

${\displaystyle \operatorname {RN} _{M}(S)=\{m\in M\colon Sm\subseteq mS\}}$

이들은 ${\displaystyle \operatorname {N} _{M}(S)}$를 포함하지만, 일반적으로 이 세 집합은 (심지어 ${\displaystyle M}$이 군이며 ${\displaystyle S}$가 부분군이더라도) 서로 다르다.^[3]:AI.54

군의 부분 집합의 정규화 부분 모노이드는 항상 부분군을 이루며, 이를 정규화 부분군이라고 한다. (그러나 ${\displaystyle \operatorname {LN} _{G}(-)}$ 및 ${\displaystyle \operatorname {RN} _{G}(-)}$는 일반적으로 부분군이 아니다.^[3]:AI.54)

성질

임의의 모노이드 ${\displaystyle M}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq M}$에 대하여, 정의에 따라 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {N} _{M}(S)=\operatorname {LN} _{M}(S)\cap \operatorname {RN} _{M}(S)}$

중심화 부분 모노이드는 항상 정규화 부분 모노이드의 부분 모노이드이다. 즉, 임의의 모노이드 ${\displaystyle M}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq M}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {C} _{M}(S)\subseteq \operatorname {N} _{M}(S)}$

군

군 ${\displaystyle G}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq G}$의 중심화 부분군은 ${\displaystyle S}$의 정규화 부분군의 정규 부분군이다.

${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(S)\trianglelefteq \operatorname {N} _{G}(S)}$

군의 경우 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {LN} _{G}(S)=\left(\operatorname {RN} _{G}(S)\right)^{-1}}$

${\displaystyle H\subseteq G}$가 부분군이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)}$는 ${\displaystyle H}$를 정규 부분군으로 갖는 가장 큰 부분군이다. 즉, 임의의 부분군 ${\displaystyle K\subseteq G}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle H}$가 ${\displaystyle K}$의 정규 부분군이라면, ${\displaystyle K}$는 ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)}$의 부분군이다.

${\displaystyle \forall K\in \operatorname {Sub} (G)\colon H\trianglelefteq K\leq G\implies K\leq \operatorname {N} _{G}(H)}$

환

환의 부분 집합의 (곱셈에 대한) 정규화 부분 모노이드는 부분 모노이드이지만 일반적으로 부분환을 이루지 못한다.

나눗셈환 ${\displaystyle D}$의 경우, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {N} _{D}(D)=D}$

증명:

임의의 ${\displaystyle a\in D}$에 대하여 ${\displaystyle aD=Da}$임을 보이면 족하다. 우선, 만약 ${\displaystyle a=0}$이라면 이는 자명하다. 따라서 ${\displaystyle a\neq 0}$이라고 가정하자. 그렇다면,

${\displaystyle D\supseteq aDa^{-1}\supseteq aa^{-1}Daa^{-1}=D}$

이므로 ${\displaystyle D=aDa^{-1}}$이며 ${\displaystyle Da=aD}$이다.

예

만약 ${\displaystyle M}$이 가환 모노이드라면, 그 임의의 부분 집합의 정규화 부분군은 ${\displaystyle M}$ 전체이다.

한원소 집합의 정규화 부분 모노이드는 중심화 부분 모노이드와 같다. 즉, 임의의 모노이드 ${\displaystyle M}$의 원소 ${\displaystyle m\in M}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {LN} _{M}(\{m\})=\operatorname {RN} _{M}(\{m\})=\operatorname {N} _{M}(\{m\})=\operatorname {C} _{M}(\{m\})}$

공집합의 정규화 부분 모노이드는 (자명하게) 전체 집합이다. 즉, 임의의 모노이드 ${\displaystyle M}$에 대하여 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {N} _{M}(\varnothing )=M}$

임의의 군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(G)=G}$

(그러나 이는 임의의 모노이드에 대하여 성립하지 못한다.)

각주

1. Bourlès, Henri; Marinescu, Bogdan (2011). 《Linear time-varying systems: algebraic-analytic approach》. Lecture Notes in Control and Information Sciences (영어). doi:10.1007/978-3-642-19727-7. ISSN 0170-8643. 
2. Hofmann, Karl Heinrich; Mislove, Michael (2012). 〈Compact affine monoids, harmonic analysis and information theory〉. 《Mathematical Foundations of Information Flow》. Proceedings of Symposia in Applied Mathematics (영어) 71. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4923-1. 2017년 2월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 2월 27일에 확인함. 
3. Bourbaki, Nicolas (1970). 《Algèbre. Chapitres 1 à 3》. Éléments de mathématique (프랑스어). 파리: Masson. 
4. Hofmann, Karl Heinrich; Mislove, M. (1971). “The centralizing theorem for left normal groups of units in compact monoids”. 《Semigroup Forum》 (영어) 3: 31–42. doi:10.1007/BF02572939. ISSN 0037-1912. Zbl 0223.22002. 2017년 2월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 2월 27일에 확인함. 

외부 링크

• “Normalizer of a subset”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “One-sided normality of semigroup”. 《PlanetMath》 (영어).