최소 모형 (등각 장론)

이론물리학에서 최소 모형(最小模型, 영어: minimal model)은 중심 전하가 1 미만인 유리 2차원 등각 장론(rational conformal field theory, 일차장이 유한개인 등각 장론)이다.

비초대칭 최소 모형

유니터리 최소 모형은 하나의 정수

${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$

으로 정의된다. 이는

${\displaystyle {\frac {{\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k}\times {\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{1}}{{\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k+1}}}}$

잉여류로 정의되며,^[1]:104 이 경우 중심 전하는

${\displaystyle c={\frac {3k}{k+2}}+1-{\frac {3(k+1)}{k+3}}=1-{\frac {6}{(k+2)(k+3)}}}$

이 된다.

최소 모형은 다음과 같은 무게의 일차장들을 가진다.

${\displaystyle h=h_{r,s}(c)={\frac {((k+3)r-(k+2)s)^{2}-1}{4(k+2)(k+3)}}}$

여기서

${\displaystyle r=1,2,3,\dots ,k+1}$

${\displaystyle s=1,2,3,\dots r}$

이다.

최소 모형은 여러 격자 모형의 임계 현상을 나타낸다. 처음 몇 개의 최소 모형은 다음과 같다. (1차장들의 목록에서, 진공 ${\displaystyle h=0}$은 생략하였다.)

k	중심 전하 c	1차장 무게 h	설명
1	1/2	1/16, 1/2	임계 이징 모형. 여기서 일차장들은 각각 단위원, 스핀 밀도, 에너지 밀도이다.
2	7/10	3/80, 1/10, 7/16, 3/5, 3/2	삼중 임계(tricritical) 이징 모형
3	4/5	1/40, 1/15, 1/8, 2/5, 21/40, 2/3, 7/5, 13/8, 3	임계 3상태 포츠 모형
4	6/7	1/56, 1/21, 5/56, 1/7, 3/8, 10/21, 33/56, 5/7, 4/3, 85/56, 12/7, 23/8, 22/7, 5	삼중임계(tricritical) 3상태 포츠 모형

𝒩=1 초등각 최소 모형

${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 초등각 장론의 유니터리 최소 모형들은 잉여류

${\displaystyle {\frac {{\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k}\times {\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{2}}{{\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k+2}}}\qquad (k=1,2,3,\dots )}$

에 의하여 정의된다.^[1]:175 ${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k}}$의 중심 전하는 ${\displaystyle c=3k/(k+2)}$이므로, ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 최소 모형의 중심 전하는 다음과 같다.^{[1]:106[1]:174–175}

${\displaystyle c={\frac {3k}{k+2}}+{\frac {3}{2}}-{\frac {3(k+2)}{(k+4)}}={\frac {3}{2}}\left(1-{\frac {8}{(k+2)(k+4)}}\right)}$

이들은 다음과 같은 무게의 1차장들을 갖는다.^[2][3]

${\displaystyle h_{r,s}={\frac {((k+4)r-(k+2)s)^{2}-4}{8(k+2)(k+4)}}+{\frac {1}{32}}(1-(-1)^{r-s})}$

여기서 ${\displaystyle r=1,2,\dots ,k+1}$이며, ${\displaystyle s}$에 대한 조건은 다음과 같다.

• 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건에서는 ${\displaystyle r-s}$는 짝수이며, ${\displaystyle 1\leq s\leq r}$이다.
• 라몽(R) 경계 조건에서는 ${\displaystyle r-s}$는 홀수이며, 다음이 성립한다.

${\displaystyle 1\leq s\leq {\begin{cases}r-1&r\leq (k+1)/2\\r+1&r>(k+1)/2\end{cases}}}$

이에 따라, 진공을 포함해 총 ${\displaystyle \lfloor (k+2)^{2}/2\rfloor }$ 개의 초1차장이 존재하며, 그 가운데 절반은 느뵈-슈워츠 경계 조건에, 나머지 절반은 라몽 경계 조건에 속한다. 또한, 짝수 ${\displaystyle k}$의 경우 라몽 바닥 상태(${\displaystyle h=c/24}$인 상태)가 하나 존재한다.

처음 몇 개의 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 최소 모형은 다음과 같다. NS 비라소로 1차장 가운데, 진공 (${\displaystyle h=0}$) 및 ${\displaystyle G_{-1/2}}$를 가하여 얻을 수 있는 것들은 생략하였다.

k	중심 전하 c	NS 1차장	R 1차장	설명
1	7/10	1/10	7/16, 3/80	삼중 임계 이징 모형 (${\displaystyle k=2}$ 비초대칭 최소 모형)의 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ 불변 부분[1]^:175[2]
2	1	1/16, 1/6, 1	3/8, 1/24, 9/16, 1/16	반지름이 ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$인 원 위의 시그마 모형. ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 최소 모형과 같음[4][5]
3	81/70	3/70, 9/10, 3/70, 8/7, 3/14	27/80, 269/560, 29/560, 31/16, 73/112, 9/112
4	5/4	1/32, 1/12, 5/32, 1/4, 5/6, 33/32, 5/4, 3	5/96, 1/16, 3/32, 5/16, 41/96, 9/16, 23/32, 29/16, 67/32

𝒩=2 초등각 최소 모형

${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 초등각 장론의 경우, 유니터리 최소 모형들은 다음과 같다.^{[1]:178–179}

${\displaystyle c={\frac {3k}{k+2}}\qquad (k=1,2,3,\dots )}$

이들은

${\displaystyle {\frac {{\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k}\times {\widehat {\mathfrak {u}}}(1)_{2}}{{\widehat {\mathfrak {u}}}(1)_{k+2}}}}$

잉여류로 정의할 수 있다.^[1]:188 이 경우 ${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k}}$의 중심 전하는 ${\displaystyle c=3k/(k+2)}$이며 ${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {u}}}(1)_{k}}$의 중심 전하가 ${\displaystyle c=1}$이므로, 올바른 중심 전하를 얻는다.

장들의 목록

${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 최소 모형에 포함되는 비라소로 1차장들은 세 개의 수 ${\displaystyle (l,k,s)}$로 정해지며,^[6] 여기서

${\displaystyle l=0,1,2,\dots ,k}$

${\displaystyle m\in \mathbb {Z} /(2k+4)}$

${\displaystyle s\in \mathbb {Z} /4}$

${\displaystyle l+m+s\equiv 0{\pmod {2}}}$

이며,

${\displaystyle (l,m,s)\sim (k-l,m+k+2,s+2)}$

이면 같은 등각장을 나타낸다. ${\displaystyle s}$가 짝수인 경우는 느뵈-슈워츠 (NS) 경계 조건에, 홀수인 경우는 라몽 (R) 경계 조건에 속한다. 만약

${\displaystyle |m-s|\leq l}$

이라면, 이에 대응하는 R대칭 전하 ${\displaystyle q}$ 및 등각 무게 ${\displaystyle h}$는 다음과 같다.

${\displaystyle q=-{\frac {m}{k+2}}+{\frac {s}{2}}}$

${\displaystyle h={\frac {l(l+2)-m^{2}}{4(k+2)}}+{\frac {s^{2}}{8}}}$

스펙트럼 흐름에 따라, 장들은 다음과 같이 변환한다.

${\displaystyle (l,m,s)\mapsto (l,m-2\eta ,s-2\eta )}$

이에 따라

${\displaystyle h_{l,m,s}\mapsto h_{l,m,s}-\eta q+\eta ^{2}c/6}$

${\displaystyle q_{l,m,s}\mapsto q_{l,m,s}-c\eta /3}$

이 된다.

NS 장

NS 경계 조건의 초1차장들은

${\displaystyle 0\leq l\leq k}$

${\displaystyle -l\leq m\leq l}$

${\displaystyle s=0}$

에 대응하며, 총 ${\displaystyle (k+1)(k+2)/2}$개가 있다.

${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 최소 모형의 장 가운데, 손지기장(영어: chiral field, ${\displaystyle h=q/2}$인 장)은 ${\displaystyle l=-m}$, ${\displaystyle s=0}$인 것들이며, 반손지기장(영어: antichiral field, ${\displaystyle h=-q/2}$인 장)은 ${\displaystyle l=m}$, ${\displaystyle s=0}$인 것들이다. 이들은 (진공을 제외하고) 각각 ${\displaystyle k}$개가 있다. 라몽 바닥 상태(${\displaystyle h=c/24}$인 장)는 ${\displaystyle (m,s)=(\pm (l+1),\pm 1)}$인 것들이며, 이 경우 ${\displaystyle q=\pm (k-l)/2(k+2)}$이다. 이들은 총 ${\displaystyle k+1}$개가 있으며, 이들은 진공을 포함한 손지기장과 대응한다.

손지기장들의 경우, ${\displaystyle G_{-1/2}^{+}}$ 코호몰로지를 취하여 환으로 만들 수 있다. 이 손지기환은 다항식환의 몫환

${\displaystyle H^{\bullet }({\mathcal {H}}_{k},G_{-1/2}^{+})\cong \mathbb {C} [x]/(x^{k+1})}$

이다. 여기서 ${\displaystyle x^{l}}$은 ${\displaystyle (l,m,s)=(l,-l,0)}$에 대응한다.

R 장

R 경계 조건의 초1차장들은

${\displaystyle 0\leq l\leq k}$

${\displaystyle m\in [-l+1,l-1]\cup \{l+1\}}$

${\displaystyle s=1}$

에 대응하며, 이 가운데 ${\displaystyle m=l+1}$인 경우는 라몽 바닥 상태이다. NS장과 마찬가지로 총 ${\displaystyle (k+1)(k+2)/2}$개의 라몽 초1차장이 존재하며, 이 가운데 ${\displaystyle k+1}$개는 라몽 바닥 상태, ${\displaystyle k(k+1)/2}$개는 바닥 상태가 아닌 다른 라몽 초1차장이다.

예

처음 몇 개의 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 최소 모형들은 다음과 같다. NS 1차장 가운데, 진공 및 수록된 것들에 ${\displaystyle G_{-1/2}^{\pm }}$ 또는 ${\displaystyle G_{-1/2}^{+}G_{1/2}^{-}}$를 가하여 얻을 수 있는 것은 생략하였다.

k	중심 전하 c	진공을 제외한 (반)손지기장의 전하 q	기타 NS 장 ${\displaystyle (h,q)}$	R 바닥 상태 q	기타 R 장 ${\displaystyle (h,q)}$	설명
1	1	±⅓	(없음)	±⅙	(⅜,±½)	반지름이 ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$인 원 위의 시그마 모형. ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 최소 모형과 같음[4][5]
2	3/2	±¼, ±½	(½,0)	0, ±¼	(5/16,±½), (9/16,±¼), (9/16,±¾)
3	9/5	±⅕, ±⅖, ±⅗	(⅖,0), (7/10,±⅕)	±1/10, ±3/10	(11/40,±½), (19/40,±3/10), (19/40,±7/10), (27/40,±1/10), (27/40,±9/10), (7/8,±1/2)
4	2	±⅙, ±⅓, ±½, ±⅔	(⅓,0), (7/12,±⅙), (⅔,±⅔), (¾,±½), (⅚,±⅓), (1,0), (4/3,±⅔)	0, ±⅙, ±⅓	(생략)

예

c=½ 최소 모형

${\displaystyle c=1/2}$ 최소 모형은 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있다.^[7] 하나는 이징 모형의 임계점이며, 다른 하나는 자유 마요라나-바일 페르미온 이론이다.

이징 모형 표현

(외부 자기장이 없는) 2차원 이징 모형은 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ 대칭을 가지며, 낮은 온도에서는 모든 스핀이 위 또는 아래로 정렬돼 있는 상을 보이지만 높은 온도에서는 무질서 상을 보인다. 이 두 상 사이에는 2차 상전이가 존재하며, 이 임계 온도에서 이징 모형은 ${\displaystyle c=1/2}$ 최소 모형으로 나타내어진다.

2차원 이징 모형에서, 각 스핀이 ${\displaystyle \sigma _{i,j}=\pm 1}$이라고 하자. 그렇다면 평균 스핀 장${\displaystyle \langle \sigma \rangle }$을 생각할 수 있다. 그 2점 함수는

${\displaystyle \langle \sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\rangle \sim d(\alpha ,\beta )^{-\eta }}$

의 꼴을 갖는다. 여기서 ${\displaystyle d(\alpha ,\beta )}$는 두 점 사이의 거리이다. 또한, 평균 에너지 장

${\displaystyle \epsilon _{\alpha }=\sum _{(\alpha ,\beta )}\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }}$

를 생각하자. 여기서 ${\displaystyle \sum _{(\alpha ,\beta )}}$는 ${\displaystyle \alpha }$와 근접한 모든 ${\displaystyle \beta }$에 대한 합이다. 그렇다면 2점 함수

${\displaystyle \langle \epsilon _{\alpha }\epsilon _{\beta }\rangle \sim d(\alpha ,\beta )^{2/\nu -2}}$

를 정의할 수 있다. 이 경우, 임계 지수 ${\displaystyle \alpha }$와 ${\displaystyle \nu }$는 ${\displaystyle c=1/2}$ 최소 모형에 포함된, 진공이 아닌 나머지 두 장의 등각 무게를 정의한다. 즉, 평균 스핀 장은 무게가 ${\displaystyle (h,{\bar {h}})=(1/2,1/2)}$인 스칼라장에, 평균 에너지 장은 ${\displaystyle (h,{\bar {h}})=(1/16,1/16)}$인 스칼라장에 대응한다.

자유 페르미온

2차원 마요라나-바일 스피너장 ${\displaystyle \psi (z,{\bar {z}})}$는 하나의 반가환수 성분을 갖는다. 이 장은 운동 방정식에 따라서

${\displaystyle \psi (z,{\bar {z}})=\psi (z)+{\bar {\psi }}({\bar {z}})}$

와 같은 꼴로, 정칙 성분과 반정칙 성분의 합으로 분해된다. 이 경우, ${\displaystyle \psi (z)}$는 무게가 ${\displaystyle (h,{\bar {h}})=(1/2,0)}$인 장이며, ${\displaystyle {\bar {\psi }}({\bar {z}})}$는 무게가 ${\displaystyle (0,1/2)}$인 장이다.

스피너장의 경우, 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건과 라몽(R) 경계 조건을 줄 수 있다. 이 두 경계 조건 사이를 전환하는 연산자가 존재하며, 뒤틀림장(영어: twist field)이라고 한다.^[7]:§6.2 정칙 성분의 뒤틀림장은 ${\displaystyle (h,{\bar {h}})=(1/16,0)}$, 반정칙 성분의 뒤틀림장은 ${\displaystyle (h,{\bar {h}})=(0,1/16)}$이다.

정칙 자유 페르미온의 이론은 ${\displaystyle c=1/2}$ 정칙 최소 모형을 이룬다. 비정칙 자유 페르미온의 이론에서, 보손장들만으로 구성된 부분 이론을 취하면 이는 임계 이징 모형과 같게 된다. 즉, 이 경우 ${\displaystyle \psi (z){\bar {\psi }}({\bar {z}})}$는 무게 ${\displaystyle (h,{\bar {h}})=(1/2,1/2)}$인 스칼라장이 되며, 뒤틀림장도 마찬가지다. 이는 보손화의 기초적인 예이다.

c=7/10 최소 모형

${\displaystyle c=7/10}$ 최소 모형은 삼중 임계 이징 모형(영어: tricritical Ising model)의 임계점 근처 현상을 나타낸다.^[8] 삼중 임계 이징 모형에서 각 스핀은 ${\displaystyle \sigma \in \{-1,0,+1\}}$의 값을 가지며, 이 경우 해밀토니언은

${\displaystyle H=K\sum _{\langle ij\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}-\Delta \sum _{i}\sigma _{i}^{2}}$

이다. 이 이론에서는 온도 ${\displaystyle T}$ 및 (입자수 ${\displaystyle \sum _{i}\sigma _{i}^{2}}$에 대응하는) 퓨가시티 ${\displaystyle z=\exp(-\mu )}$를 조절할 수 있다. 만약 퓨가시티가 ${\displaystyle z\to 0}$이라면, 이는 이징 모형과 같으며, 일정한 온도 ${\displaystyle T=T_{0}(z=0)}$에서 2차 상전이가 존재한다. 반대로, ${\displaystyle T=0}$이며 ${\displaystyle z>0}$인 경우 어떤 ${\displaystyle z=z_{0}}$에서 1차 상전이가 존재한다. (${\displaystyle z\to 0}$이라면 두 개의 독립된 바닥 상태가 존재하지만, ${\displaystyle z\to \infty }$라면 입자수 밀도가 0으로 가 하나의 바닥 상태가 존재하기 때문이다.) 따라서, ${\displaystyle T}$와 ${\displaystyle z}$를 둘 다 조절한다면, 1차 상전이가 2차 상전이로 바뀌는 시점이 존재한다. 이를 삼중 임계 이징 모형의 삼중점(영어: tricritical point)이라고 하며, 삼중점에서의 임계 현상은 ${\displaystyle c=7/10}$ 최소 모형으로 나타내어진다.

이 경우, 각 등각 1차장들은 다음과 같이 대응한다.^[9]

무게 ${\displaystyle (h,{\bar {h}})}$	설명
(0,0)	진공
(3/80,3/80)	평균 스핀 (자기화) ${\displaystyle \sigma }$
(7/16,7/16)	자기화 준밀도(영어: subleading magnetization density)
(1/10,1/10)	에너지 밀도
(3/5,3/5)	양공 밀도(영어: vacancy) = 에너지 밀도의 초대칭짝
(3/2,3/2)	에너지 준밀도(영어: subleading energy density) = 초전류

c=1 초대칭 최소 모형

${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 초대칭 최소 모형은 반지름이 ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$인 원 위의 시그마 모형으로 나타낼 수 있다.^[4][5] 이 경우, 주기 경계 조건과 호환되는 스칼라장 ${\displaystyle \phi }$의 지수들은 다음과 같다.

${\displaystyle O_{n,{\bar {n}}}=\exp(i(n\psi (z)+{\bar {n}}{\bar {\psi }}({\bar {z}}))/{\sqrt {12}})\qquad (n,{\bar {n}}\in \mathbb {Z} ;\;n-{\bar {n}}\equiv 0{\pmod {6}})}$

${\displaystyle \left(h(O_{n,{\bar {n}}}),{\bar {h}}(O_{n,{\bar {n}}})\right)=(n^{2}/24,{\bar {n}}^{2}/24)}$

${\displaystyle \left(q(O_{n,{\bar {n}}}),{\bar {q}}(O_{n,{\bar {n}}})\right)=(n/6,-{\bar {n}}/6)}$

이 경우, ${\displaystyle n}$과 ${\displaystyle {\bar {n}}}$이 짝수라면 느뵈-슈워츠 경계 조건, 홀수라면 라몽 경계 조건에 해당한다.

이 이론에서 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 초등각 대수의 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle Q^{\pm }(z)=O_{\pm 6,0}(z)}$

${\displaystyle {\bar {Q}}^{\pm }({\bar {z}})=O_{0,\mp 6}({\bar {z}})}$

${\displaystyle J(z)=i\partial \phi (z)/{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle {\bar {J}}({\bar {z}})=-i{\bar {\partial }}{\bar {\phi }}({\bar {z}})/{\sqrt {3}}}$

이 경우, NS 및 R 장들은 다음과 같이 대응된다. 아래 표에서 항상 ${\displaystyle h={\bar {h}}}$, ${\displaystyle q={\bar {q}}}$이다.

${\displaystyle (h,q)}$	${\displaystyle (n,{\bar {n}})}$
NS (반)손지기장 ${\displaystyle (1/6,\pm 1/3)}$	${\displaystyle (\pm 2,\pm 2)}$
라몽 바닥 상태 ${\displaystyle (1/24,\pm 1/6)}$	${\displaystyle (\pm 1,\pm 1)}$
라몽 상태 ${\displaystyle (3/8,\pm 1/2)}$	${\displaystyle (\pm 3,\pm 3)}$

이 밖의 다른 상태들은 위 상태들에 ${\displaystyle G_{-1/2}^{\pm }}$를 가하여 얻어진다. 예를 들어, ${\displaystyle (n,{\bar {n}})=(4,4)}$는 ${\displaystyle (n,{\bar {n}})=(-2,-2)}$에 ${\displaystyle G_{-1/2}^{+}{\bar {G}}_{-1/2}^{+}}$를 가하여 얻는다.

이 모형에, ${\displaystyle \phi \sim -\phi }$와 같은 오비폴드를 취하자. 그렇다면 R대칭 전하가 부호만 다른 장들이 서로 같은 장이 되고, 또 오비폴드로 인하여 뒤틀린 장들이 추가된다. 이렇게 하면, ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 초대칭 최소 모형을 얻는다.

각주

1. Blumenhagen, Ralph; Erik Plauschinn (2009). 《Introduction to conformal field theory with applications to string theory》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. Bibcode:2009LNP...779.....B. doi:10.1007/978-3-642-00450-6. ISBN 978-3-642-00449-0. MR 2848105.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
2. Friedan, D.; Z. Qiu, S. Shenker (1985). “Conformal invariance, unitarity, and critical exponents in two dimensions” (PDF). 《Physics Letters B》 (영어) 151: 37. 2015년 9월 24일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 3월 18일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
3. (영어). arXiv:hep-th/9801035.  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말)
4. Kiritsis, Elias B. (1988년 1월 21일). “The ${\displaystyle {\hat {c}}={\tfrac {2}{3}}}$ minimal ${\displaystyle N=1}$ superconformal system and its realisation in the critical O(2) Gaussian model”. 《Journal of Physics A: Mathematical and General》 (영어) 21 (2): 297–306. doi:10.1088/0305-4470/21/2/011. ISSN 0305-4470.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 5) (도움말)
5. Lerche, Wolfgang; Cumrun Vafa, Nicholas P. Warner. “Chiral rings in ${\displaystyle N=2}$ superconformal theories” (PDF). 《Nuclear Physics B》 (영어). Bibcode:1989NuPhB.324..427L. doi:10.1016/0550-3213(89)90474-4.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말); |제목=에 지움 문자가 있음(위치 17) (도움말)^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}
6. (영어). arXiv:1204.0446.  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말)
7. Ginsparg, Paul (1988년 11월). “Applied conformal field theory” (영어). arXiv:hep-th/9108028. Bibcode:1991hep.th....8028G.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
8. Christe, Philippe; Malte Henkel. 《Introduction to Conformal Invariance and Its Applications to Critical Phenomena》. Lecture Notes in Physics Monographs (영어) 16. doi:10.1007/978-3-540-47575-0. ISBN 978-3-540-56504-8.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
9. (영어). arXiv:9612154 |arxiv= 값 확인 필요 (도움말).  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말)

• Di Francesco, P.; P. Mathieu, and D. Sénéchal (1997). 《Conformal Field Theory》. Springer. ISBN 0-387-94785-X.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• Cappelli, Andrea; Zuber, Jean-Bernard (2010). “A-D-E classification of conformal field theories”. 《Scholarpedia》 (영어) 5 (4): 10314. arXiv:0911.3242. Bibcode:2009arXiv0911.3242C. doi:10.4249/scholarpedia.10314. ISSN 1941-6016. 

외부 링크

• “Virasoro algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.